Resolva as seguintes equações em \mathbb{C} :
z^{3}+i=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{C} a equação
z^{3} + i = 0.
O conteúdo aqui é encontrar as raízes de uma equação polinomial de grau 3 em números complexos usando a forma polar/exponencial e o Teorema de De Moivre.

Passo 2

Isolamos z^{3}:
z^{3} = -\,i.
Para usar a forma polar, escrevemos -\,i em forma exponencial. Como i = e^{i\pi/2}, temos
-\,i = e^{i(\pi/2 + \pi)} = e^{i\,3\pi/2} = e^{-\,i\pi/2}.

Passo 3

Levantando a periodicidade, a representação geral de -\,i é
-\,i = e^{-\,i\pi/2 + 2\pi i k},\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Pelo Teorema de De Moivre, as soluções de z^{3}=e^{-\,i\pi/2 + 2\pi i k} são
z = e^{\frac{-\,i\pi/2 + 2\pi i k}{3}} = e^{-\,i\pi/6 + \tfrac{2\pi i k}{3}}, \quad k=0,1,2.

Passo 5

Agora listamos explicitamente para k=0,1,2 e, quando útil, passamos à forma retangular:
Para k=0:
z_{0} = e^{-\,i\pi/6} = \cos\!\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr) + i\sin\!\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr) = \frac{\sqrt{3}}{2} \;-\;\frac{1}{2}\,i.
Para k=1:
z_{1} = e^{-\,i\pi/6 + 2\pi i/3} = e^{\,i(\,-\tfrac{\pi}{6} + \tfrac{2\pi}{3})} = e^{\,i\pi/2} = i.
Para k=2:
z_{2} = e^{-\,i\pi/6 + 4\pi i/3} = e^{\,i(\,-\tfrac{\pi}{6} + \tfrac{4\pi}{3})} = e^{\,i7\pi/6} = -\,\frac{\sqrt{3}}{2}\;-\;\frac{1}{2}\,i.

Resposta

z \in \Bigl\{\,\frac{\sqrt{3}}{2} - \tfrac{1}{2}\,i,\quad i,\quad -\,\frac{\sqrt{3}}{2} - \tfrac{1}{2}\,i\Bigr\}.

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