Resolva as seguintes equações em \mathbb{C} :
z^{2}-2 i=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{C} a equação
z^{2} - 2\,i = 0,
isto é, encontrar todos os complexos z tais que z^{2}=2\,i. Para isso, vamos usar a forma polar de um número complexo e a fórmula das raízes n-ésimas em \mathbb{C}.

Passo 2

Primeiro escrevemos
z^{2} = 2\,i.
Observamos que 2\,i tem módulo \lvert 2\,i\rvert = 2 e argumento \arg(2\,i)=\tfrac{\pi}{2}. Logo, em forma polar:
2\,i = 2\,\cis\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr).

Passo 3

Para achar as raízes quadradas de 2\,i, usamos
z_{k} = \sqrt{2}\;\cis\!\Bigl(\frac{\tfrac{\pi}{2} + 2\pi k}{2}\Bigr), \quad k=0,1.
  • Para k=0:
z_{0} = \sqrt{2}\;\cis\!\bigl(\tfrac{\pi/2}{2}\bigr) = \sqrt{2}\;\cis\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) = \sqrt{2}\Bigl(\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigr) = 1 + i.
  • Para k=1:
z_{1} = \sqrt{2}\;\cis\!\Bigl(\frac{\pi/2 + 2\pi}{2}\Bigr) = \sqrt{2}\;\cis\!\bigl(\tfrac{5\pi}{4}\bigr) = \sqrt{2}\Bigl(-\frac{1}{\sqrt{2}} + i\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr)\Bigr) = -1 - i.

Resposta

As soluções da equação z^{2}-2\,i=0 são
z = 1 + i \quad\text{e}\quad z = -1 - i.

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