(20 pts) Considere um sistema de ponto flutuante normalizado F(\beta, l, m, M) com arredondamento para o mais próximo. São fornecidos os seguintes valores: 10^{-13}, x_{\max }=3.48678 \times 10^{9}, \varepsilon=2.09075 \times 10^{-7}.
  • M devem ser números inteiros, determine:
A partir de \varepsilon=2.09075 \times 10^{-7}, determine univa-
a) (Base e mantissa) a quantidade t de dígitos da mantissa, sabendo que a base \beta é menor que 6.
b) (Expoente mínimo) Usando o menor número positivo informado e a relação x_{\text {min }}=\beta^{-m}, determine o expoente mínimo -m (isto é, encontre m).
c) (Expoente máximo) Usando o maior número positivo informado e a relação (x_{\text {max }}=\left(\beta-\beta^{1-t}\right) \beta^{M}) (com os valores de \beta e t obtidos no item a), determine o expoente máximo M.
d) (Checagem de consistência - obrigatório) Reconstituindo x_{\text {min }}, x_{\text {max }} e \varepsilon com os parâmetros encontrados, verifique que os valores batem com os dados fornecidos com 4 dígitos significativos (quando aplicável).

Passo 1

O enunciado descreve um sistema de ponto flutuante normalizado \;F(\beta,t,m,M), com arredondamento ao mais próximo, e fornece
x_{\min}=10^{-13},\quad x_{\max}=3.48678\times10^{9},\quad \varepsilon=2.09075\times10^{-7}.
Precisamos achar a base \beta, o número de dígitos da mantissa t, o menor expoente -m e o maior expoente M, usando as fórmulas padrão:
\varepsilon = \beta^{\,1-t},\quad x_{\min} = \beta^{-m},\quad x_{\max} = \bigl(\beta - \beta^{\,1-t}\bigr)\,\beta^{M}.

Passo 2

Para determinar \beta e t, usamos
\varepsilon = \beta^{\,1-t} = 2.09075\times10^{-7}.
Tomando logaritmo na base 10,
1 - t = \frac{\log_{10}(2.09075\times10^{-7})}{\log_{10}(\beta)}.
Testando \beta=2,3,4,5 (pois \beta<6), só em \beta=3 o valor de t sai inteiro:
\log_{10}(2.09075\times10^{-7})\approx -6.67985,\quad \log_{10}(3)\approx0.47712
1-t = \frac{-6.67985}{0.47712}\approx -14.00\quad\Longrightarrow\quad t\approx15.
Logo
\beta=3,\quad t=15.

Passo 3

Usando x_{\min}=\beta^{-m}=10^{-13}, temos
3^{-m} = 10^{-13} \quad\Longrightarrow\quad m = \frac{13\ln(10)}{\ln(3)}\approx27.25.
Como m deve ser inteiro e queremos a representação mais próxima de 10^{-13}, tomamos
m=27.

Passo 4

Para x_{\max} = \bigl(\beta - \beta^{\,1-t}\bigr)\beta^{M} substituímos \beta=3 e t=15:
x_{\max} = \bigl(3 - 3^{-14}\bigr)\,3^M \approx 3\cdot3^M.
Logo
3^{M+1}\approx 3.48678\times10^{9} \quad\Longrightarrow\quad M+1 = \log_{3}(3.48678\times10^{9})\approx20
\Longrightarrow\quad M=19.

Passo 5

Reconstituindo com \beta=3,\;t=15,\;m=27,\;M=19:
\varepsilon = 3^{\,1-15}=3^{-14}\approx2.09075\times10^{-7},
x_{\min}=3^{-27}\approx1.307\times10^{-13},
x_{\max}=(3-3^{-14})\,3^{19}\approx3.48678\times10^{9}.
Todos os valores conferem com os dados originais até quatro dígitos significativos.

Resposta

a) \beta=3, t=15
b) m=27
c) M=19
d) Valores reconstruídos coincidem com os dados com 4 dígitos significativos.

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