Questão 4. (20 pts) Durante o projeto de um sistema de absorção acústica em uma sala industrial, engenheiros determinaram que a frequência angular \omega de ressonância do sistema (em radianos por segundo) satisfaz a seguinte equação transcendental:
f(\omega)=e^{-0.5 \omega} \cos (\omega)-0.1=0
Sabe-se que existe uma única raiz simples no intervalo entre 1.0 e 1.5 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, e que essa raiz corresponde à frequência buscada.
(a) Escolha um x_{0} inicial e realize duas ou mais iterações completas do método de Newton. Apresente todos os cálculos intermediários claramente e monte uma tabela com os resultados.
(b) Estime o erro absoluto nessas iterações utilizando uma análise numérica apropriada. Explique brevemente o procedimento utilizado para a estimativa do erro e justifique se está havendo convergência ou divergência.

Passo 1

O enunciado pede a raiz de
f(\omega)=e^{-0.5\omega}\cos(\omega)-0.1=0
no intervalo [1,1.5] usando o método de Newton. O conteúdo é método de Newton para equações não-lineares, e vamos precisar de f(\omega), de sua derivada f'(\omega) e da fórmula
\omega_{n+1}=\omega_n-\frac{f(\omega_n)}{f'(\omega_n)}.

Passo 2

Derivando f(\omega) por \omega temos
f'(\omega) =\frac{d}{d\omega}\bigl(e^{-0.5\omega}\cos\omega\bigr) =-e^{-0.5\omega}\bigl(0.5\cos\omega+\sin\omega\bigr).
Escolhemos o chute inicial \omega_0=1{,}2.

Passo 3

Calculamos sucessivas iterações até \omega_3.
Para cada n computamos f(\omega_n), f'(\omega_n) e \omega_{n+1}.
k x_k f( x_k) f’( x_k) x_{k+1} 0 1{,}2000 0{,}0990 -0{,}6107 1{,}3622 1 1{,}3622 0{,}0046 -0{,}5476 1{,}3706 2 1{,}3706 -0{,}00015 -0{,}5440 1{,}3703
Cálculo de exemplo para n=0:
f(1{,}2)=e^{-0.6}\cos(1.2)-0.1\approx0{,}0990, \quad f'(1{,}2)=-e^{-0.6}\bigl(0.5\cos1.2+\sin1.2\bigr)\approx-0{,}6107,
\omega_1=1{,}2-\frac{0{,}0990}{-0{,}6107}\approx1{,}3622.

Passo 4

Estimamos o erro absoluto por
e_{n+1}\approx\bigl|\omega_{n+1}-\omega_n\bigr|.
Isso nos dá
e_1=|1{,}3622-1{,}2000|\approx0{,}1622,\quad e_2=|1{,}3706-1{,}3622|\approx0{,}0084,\quad e_3=|1{,}3703-1{,}3706|\approx0{,}00028.
Como e_n decresce rapidamente (aproximação quadrática típica do método de Newton), concluímos que há convergência.

Resposta

(a) Tabela de iterações do método de Newton, com \omega_0=1{,}2000:
k x_k f( x_k) f’( x_k) x_{k+1} 0 1{,}2000 0{,}0990 -0{,}6107 1{,}3622 1 1{,}3622 0{,}0046 -0{,}5476 1{,}3706 2 1{,}3706 -0{,}00015 -0{,}5440 1{,}3703
(b) Erro absoluto estimado por \bigl|\omega_{n+1}-\omega_n\bigr|:
e_1\approx0{,}1622,\quad e_2\approx0{,}0084,\quad e_3\approx0{,}00028.
Como esses erros diminuem, o método converge.

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