Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Se forem verdadeiras explique por quê, caso contrário explique porque ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} d x é convergente.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x}\,dx
é convergente. Vamos usar o conceito de integral imprópria no infinito e calcular a primitiva de 1/x.

Passo 2

Por definição,
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x}\,dx =\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}\frac{1}{x}\,dx.
A integral converge exatamente se esse limite existir e for finito.

Passo 3

A primitiva de \frac{1}{x} é \ln(x). Logo, para b>1,
\int_{1}^{b}\frac{1}{x}\,dx =\ln(b)-\ln(1) =\ln(b).

Passo 4

Agora avaliamos o limite quando b\to\infty:
\lim_{b\to\infty}\ln(b)=+\infty,
ou seja, o valor cresce sem limite e não é finito.

Resposta

A afirmação é falsa, pois
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx =\lim_{b\to\infty}\ln(b) =+\infty
demonstra que a integral diverge.

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