Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Se forem verdadeiras explique por quê, caso contrário explique porque ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
\int \frac{x^{2}-4}{x^{3}+4 x} d x=\int \frac{A}{x} d x+\int \frac{B}{x^{2}+4} d x e, para resolver essa integral, basta encontrar os coeficientes A e B.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
\int \frac{x^{2}-4}{x^{3}+4x}\,dx = \int \frac{A}{x}\,dx \;+\;\int \frac{B}{x^{2}+4}\,dx
é uma decomposição de frações parciais válida e suficiente para resolver a integral.

Passo 2

Observe que
x^{3}+4x = x\,(x^{2}+4).
Para decompor uma fração racional cujo denominador fatora em fatores lineares distintos ou em quadráticos irreduzíveis, o numerador de cada parcela deve ter grau estritamente menor que o grau do fator correspondente. Assim, a forma geral correta é
\frac{x^{2}-4}{x(x^{2}+4)} = \frac{A}{x} \;+\;\frac{B\,x + C}{x^{2}+4}.

Passo 3

Igualando numeradores sobre o mesmo denominador, vem
x^{2}-4 = A\,(x^{2}+4) \;+\;(B\,x + C)\,x = A\,x^{2} + 4A + B\,x^{2} + C\,x = (A+B)\,x^{2} + C\,x + 4A.
Comparando coeficientes de x^{2}\), de \(x\) e do termo independente, obtemos o sistema \[\begin{cases} A + B = 1,\\\ C = 0,\\\\ 4A = -4. \end{cases}
Da terceira equação 4A=-4\] segue \(A=-1. Então B=1-A=2 e C=0.

Passo 4

A forma proposta no enunciado, porém, restringe a
\frac{x^{2}-4}{x(x^{2}+4)} \overset{?}{=} \frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}+4},
ou seja, assume B\,x + C = B\) (isto é, \(C=0\) e sem termo em \(x\)). Igualando numeradores nessa hipótese, fica \[x^{2}-4 = A\,(x^{2}+4) + B\,x = A\,x^{2} + B\,x + 4A.
Isso leva ao sistema
\begin{cases} A = 1,\\\ B = 0,\\\\ 4A = -4, \end{cases}
que é contraditório ( A=1\] e \(A=-1 ao mesmo tempo).

Passo 5

Portanto, a forma apresentada no enunciado é insuficiente: é preciso incluir o termo C\,x no numerador sobre x^{2}+4. Concluímos que a afirmação é falsa.

Resposta

Falsa

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