Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Se forem verdadeiras explique por quê, caso contrário explique porque ou dê um exemplo que mostre que é falsa. \int \frac{x^{2}-4}{x^{3}+4 x} d x=\int \frac{A}{x} d x+\int \frac{B}{x^{2}+4} d x e, para resolver essa integral, basta encontrar os coeficientes A e B.
é uma decomposição de frações parciais válida e suficiente para resolver a integral.
Passo 2
Observe que
x^{3}+4x = x\,(x^{2}+4).
Para decompor uma fração racional cujo denominador fatora em fatores lineares distintos ou em quadráticos irreduzíveis, o numerador de cada parcela deve ter grau estritamente menor que o grau do fator correspondente. Assim, a forma geral correta é
ou seja, assume B\,x + C = B\) (isto é, \(C=0\) e sem termo em \(x\)). Igualando numeradores nessa hipótese, fica
\[x^{2}-4 = A\,(x^{2}+4) + B\,x = A\,x^{2} + B\,x + 4A.
Isso leva ao sistema
\begin{cases} A = 1,\\\ B = 0,\\\\ 4A = -4, \end{cases}
que é contraditório (A=1\] e \(A=-1 ao mesmo tempo).
Passo 5
Portanto, a forma apresentada no enunciado é insuficiente: é preciso incluir o termo C\,x no numerador sobre x^{2}+4. Concluímos que a afirmação é falsa.