Questão 3. (20 pts) Uma equipe de engenheiros precisa dimensionar uma tubulação cilíndrica para escoamento de água. O raio interno r (em metros) da tubulação deve satisfazer a equação não linear seguinte, resultante de restrições operacionais do sistema:
f(r)=r^{3}-4 r^{2}+r+6.2=0
É sabido que a solução fisicamente viável para o raio encontra-se no intervalo entre 2.5 e 3.5 metros.
(a) Realize três iterações completas do método da bissecção para aproximar numericamente o valor da solução (raio r ). Utilize uma tabela para organizar os cálculos, sendo que cada linha da tabela deve fornecer claramente os extremos dos intervalos, o ponto médio e os valores da função nestes pontos.
(b) Quantas iterações seriam necessárias, pelo método da bissecção, para garantir que o erro absoluto na determinação do raio seja inferior a 10^{-4} metros? Justifique sua resposta através de um cálculo explícito.
Resolução da questão 3:

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, por três iterações do método da bissecção, a raiz de
f(r)=r^{3}-4r^{2}+r+6.2
no intervalo [2.5,3.5]. Também pede o número de iterações necessárias para garantir erro absoluto menor que 10^{-4}. Vamos aplicar o método da bissecção (que consiste em dividir o intervalo ao meio, checar sinais de f em cada metade e escolher a subparte que contém a raiz) e depois usar a fórmula de convergência para estimar o número de iterações.

Passo 2

Montamos a tabela com os valores de a, b, m=(a+b)/2, f(a), f(m) e f(b) em cada uma das três iterações:
Iteração a b m f(a) f(m) f(b)
1 2.5 3.5 3.0 -0.675 0.200 3.575
2 2.5 3.0 2.75 -0.675 -0.503125 0.200
3 2.75 3.0 2.875 -0.503125 -0.227734 0.200
Em cada linha escolhemos o subintervalo em que f muda de sinal:
  • Iteração 1: como f(2.5)<0 e f(3.0)>0, usamos [2.5,3.0].
  • Iteração 2: como f(2.75)<0 e f(3.0)>0, usamos [2.75,3.0].
  • Iteração 3: como f(2.875)<0 e f(3.0)>0, usamos [2.875,3.0].

Passo 3

Após três iterações, o novo intervalo é [2.875,\,3.0] e a aproximação da raiz fica
r_3 = 2.875.

Passo 4

Para garantir erro absoluto \le 10^{-4}, a bissecção satisfaz
\frac{b_0 - a_0}{2^n} \le 10^{-4},
onde b_0-a_0=1.0. Logo
2^n \ge \frac{1}{10^{-4}} = 10^{4} \quad\Longrightarrow\quad n \ge \log_{2}(10^{4}) \approx \frac{4}{\log_{10}(2)} \approx 13{,}29.
Portanto são necessárias n=14 iterações para que o erro seja inferior a 10^{-4}.

Resposta

(a) As três primeiras iterações estão na tabela acima, conduzindo ao intervalo [2.875,3.0] e à aproximação r\approx2.875.
(b) São necessárias 14 iterações para garantir erro absoluto menor que 10^{-4}.

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