Questão 3. (20 pts) Uma equipe de engenheiros precisa dimensionar uma tubulação cilíndrica para escoamento de água. O raio interno
(em metros) da tubulação deve satisfazer a equação não linear seguinte, resultante de restrições operacionais do sistema:
É sabido que a solução fisicamente viável para o raio encontra-se no intervalo entre 2.5 e 3.5 metros.
(a) Realize três iterações completas do método da bissecção para aproximar numericamente o valor da solução (raio
). Utilize uma tabela para organizar os cálculos, sendo que cada linha da tabela deve fornecer claramente os extremos dos intervalos, o ponto médio e os valores da função nestes pontos.
(b) Quantas iterações seriam necessárias, pelo método da bissecção, para garantir que o erro absoluto na determinação do raio seja inferior a
metros? Justifique sua resposta através de um cálculo explícito.
Resolução da questão 3:
(a) Realize três iterações completas do método da bissecção para aproximar numericamente o valor da solução (raio
(b) Quantas iterações seriam necessárias, pelo método da bissecção, para garantir que o erro absoluto na determinação do raio seja inferior a
Passo 1
O enunciado pede para encontrar, por três iterações do método da bissecção, a raiz de
no intervalo
. Também pede o número de iterações necessárias para garantir erro absoluto menor que
. Vamos aplicar o método da bissecção (que consiste em dividir o intervalo ao meio, checar sinais de
em cada metade e escolher a subparte que contém a raiz) e depois usar a fórmula de convergência para estimar o número de iterações.
Passo 2
Montamos a tabela com os valores de
,
,
,
,
e
em cada uma das três iterações:
| Iteração |
|
|
|
|
|
|
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2.5 | 3.5 | 3.0 |
|
|
|
| 2 | 2.5 | 3.0 | 2.75 |
|
|
|
| 3 | 2.75 | 3.0 | 2.875 |
|
|
|
Em cada linha escolhemos o subintervalo em que
muda de sinal:
- Iteração 1: como
e , usamos . - Iteração 2: como
e , usamos . - Iteração 3: como
e , usamos .
Passo 3
Após três iterações, o novo intervalo é
e a aproximação da raiz fica
Passo 4
Para garantir erro absoluto
, a bissecção satisfaz
onde
. Logo
Portanto são necessárias
iterações para que o erro seja inferior a
.
Resposta
(a) As três primeiras iterações estão na tabela acima, conduzindo ao intervalo
e à aproximação
.
(b) São necessárias iterações para garantir erro absoluto menor que
.
(b) São necessárias