( 20 pts) Determine usando o método das cordas uma das raízes da equaçāo \mathrm{f}(\mathrm{x})=(2 \mathrm{x}+1)^{2} e^{\left(3 x^{2}-2\right)-1}.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar, pelo método das cordas (regula falsi), uma raiz da função
f(x) = (2x+1)^{2}\,e^{3x^{2}-2}-1.
O que precisamos:
  1. Identificar um intervalo [a,b] tal que f(a)\,f(b)<0.
  2. Aplicar a fórmula das cordas
x_{\rm new} = a \;-\;\frac{f(a)\,(b - a)}{f(b)-f(a)}
iterativamente até ter uma boa aproximação da raiz.

Passo 2

Procuramos um intervalo inicial.
Calculemos
f(0) = (1)^{2}e^{-2} - 1 = e^{-2}-1 \approx -0{,}8647,
f(1) = (3)^{2}e^{1} - 1 = 9e -1 \approx 23{,}462.
Como f(0)<0 e f(1)>0, tomamos [a,b]=[0,1].

Passo 3

Primeira aplicação das cordas em [0,1]:
x_{1} = 0 \;-\;\frac{f(0)\,(1-0)}{f(1)-f(0)} = \frac{0{,}8647}{23{,}462+0{,}8647}\approx 0{,}0356.
Avalia-se
f(0{,}0356)\approx -0{,}8442<0,
logo a raiz continua entre x_{1}\approx0{,}0356 (sinal negativo) e b=1 (sinal positivo).

Passo 4

Para agilizar, observamos valores intermediários e achamos que a raiz está entre 0{,}45 e 0{,}50, pois
f(0{,}45)\approx -0{,}102,\quad f(0{,}50)\approx 0{,}146.
Agora aplicamos o método das cordas em [0{,}45,\,0{,}50]:
x_{2} = 0{,}45 \;-\; \frac{(-0{,}102)\,(0{,}50-0{,}45)}{0{,}146 -(-0{,}102)} \approx 0{,}4719.
Calculamos
f(0{,}4719)\approx -0{,}0030<0,
portanto a raiz está entre 0{,}4719 e 0{,}50.

Passo 5

Mais uma iteração em [0{,}4719,\,0{,}50]:
x_{3} = 0{,}4719 \;-\; \frac{(-0{,}0030)\,(0{,}50-0{,}4719)}{0{,}146 -(-0{,}0030)} \approx 0{,}4725.
Agora
f(0{,}4725)\approx 0{,}0002\approx 0,
com sinal positivo e magnitude bem pequena.

Resposta

Uma aproximação da raiz obtida pelo método das cordas é
x \approx 0{,}4725.

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