2 Uma função
passa pelos pontos tabelados abaixo. Pede-se:
a) Determinar o valor aproximado de
usando um polinômio interpolador de grau 1 , ou seja, calcular
.
b) Obtenha o polinômio interpolador
por Lagrange, Newton e por resolução de sistemas lineares.
c) Calcule
d) Determinar o valor de
, sabendo-se que a função
.
e) Calcule
e
a) Determinar o valor aproximado de
b) Obtenha o polinômio interpolador
c) Calcule
d) Determinar o valor de
e) Calcule
x | 0 | 0.5 | 1 |
---|---|---|---|
y | 1 | 1 | 3 |
Passo 1
Temos a tabela de pontos
,
,
.
O enunciado pede:
a) aproximar por um polinômio de grau 1
;
b) obter o polinômio de grau 2 pelos métodos de Lagrange, Newton e sistema linear;
c) calcular ;
d) avaliar o verdadeiro sabendo que
;
e) computar os erros e
.
Vamos usar teoria de interpolação polinomial, fórmula de Lagrange, diferenças divididas e resolução de sistemas lineares.
O enunciado pede:
a) aproximar
b) obter o polinômio de grau 2
c) calcular
d) avaliar o verdadeiro
e) computar os erros
Vamos usar teoria de interpolação polinomial, fórmula de Lagrange, diferenças divididas e resolução de sistemas lineares.
Passo 2
Para
usamos os pontos mais próximos de
, ou seja
e
.
A inclinação é
A inclinação é
Logo
e
Passo 3
Polinômio de Lagrange de grau 2:
com
Substituindo
,
,
e somando, chega-se a
Passo 4
Polinômio na forma de Newton, com nós
. As diferenças divididas são
Assim
Passo 5
Polinômio por sistema linear: assuma
.
De vem
.
De vem
De
De
De
vem
Resolvendo, obtemos
,
,
, ou seja
Passo 6
Avaliação de
em
:
Passo 7
Como
,
Passo 8
Os erros em
são
Resposta
(a)
(b) (formas de Lagrange, Newton e sistema linear)
(c)
(d)
(e) ,
(b)
(c)
(d)
(e)