2 Uma função f(x) passa pelos pontos tabelados abaixo. Pede-se:
a) Determinar o valor aproximado de f(0.6) usando um polinômio interpolador de grau 1 , ou seja, calcular p_{1}(0.6).
b) Obtenha o polinômio interpolador p_{2}(x) por Lagrange, Newton e por resolução de sistemas lineares.
c) Calcule p_{2}(0.6)
d) Determinar o valor de f(0.6), sabendo-se que a função f(x)=4 x^{2}-2 x+1.
e) Calcule E_{1}(0.6) e E_{2}(0.6)
x 0 0.5 1
y 1 1 3

Passo 1

Temos a tabela de pontos
(x_0,y_0)=(0,1), (x_1,y_1)=(0,5,1), (x_2,y_2)=(1,3).
O enunciado pede:
a) aproximar f(0,6) por um polinômio de grau 1 p_1;
b) obter o polinômio de grau 2 p_2 pelos métodos de Lagrange, Newton e sistema linear;
c) calcular p_2(0,6);
d) avaliar o verdadeiro f(0,6) sabendo que f(x)=4x^2-2x+1;
e) computar os erros E_1(0,6)=f(0,6)-p_1(0,6) e E_2(0,6)=f(0,6)-p_2(0,6).
Vamos usar teoria de interpolação polinomial, fórmula de Lagrange, diferenças divididas e resolução de sistemas lineares.

Passo 2

Para p_1 usamos os pontos mais próximos de 0,6, ou seja (0,5,1) e (1,3).
A inclinação é
m \;=\;\frac{3-1}{1-0,5}\;=\;\frac{2}{0,5}\;=\;4.
Logo
p_1(x) = 1 + 4\,(x-0,5),
e
p_1(0,6) = 1 + 4\,(0,6-0,5) = 1 + 4\cdot0,1 = 1,4.

Passo 3

Polinômio de Lagrange de grau 2:
p_2(x) \;=\;\sum_{i=0}^2 y_i\,\ell_i(x),
com
\ell_0(x)=2\,(x-0,5)(x-1), \quad \ell_1(x)=-4\,x\,(x-1), \quad \ell_2(x)=2\,x\,(x-0,5).
Substituindo y_0=1, y_1=1, y_2=3 e somando, chega-se a
p_2(x) = 4x^2 - 2x + 1.

Passo 4

Polinômio na forma de Newton, com nós 0,0,5,1. As diferenças divididas são
f[x_0,x_1]=0,\quad f[x_1,x_2]=4,\quad f[x_0,x_1,x_2]=\frac{4-0}{1-0}=4.
Assim
p_2(x) =1 + 0\cdot(x-0) + 4\,(x-0)(x-0,5) =4x^2 - 2x + 1.

Passo 5

Polinômio por sistema linear: assuma p_2(x)=ax^2+bx+c.
De p_2(0)=1 vem c=1.
De p_2(0,5)=1 vem
0,25a + 0,5b +1 = 1 \quad\Longrightarrow\quad 0,25a+0,5b=0.
De p_2(1)=3 vem
a + b + 1 = 3 \quad\Longrightarrow\quad a+b=2.
Resolvendo, obtemos a=4, b=-2, c=1, ou seja
p_2(x) = 4x^2 - 2x + 1.

Passo 6

Avaliação de p_2 em 0,6:
p_2(0,6) = 4\,(0,6)^2 - 2\,(0,6) + 1 = 4\cdot0,36 - 1,2 + 1 = 1,24.

Passo 7

Como f(x)=4x^2 - 2x + 1,
f(0,6) = 4\,(0,6)^2 - 2\,(0,6) + 1 = 1,24.

Passo 8

Os erros em 0,6 são
E_1(0,6) = f(0,6) - p_1(0,6) = 1,24 - 1,4 = -0,16,
E_2(0,6) = f(0,6) - p_2(0,6) = 1,24 - 1,24 = 0.

Resposta

(a) p_1(0,6) = 1,4
(b) p_2(x) = 4x^2 - 2x + 1 (formas de Lagrange, Newton e sistema linear)
(c) p_2(0,6) = 1,24
(d) f(0,6) = 1,24
(e) E_1(0,6) = -0,16, \,E_2(0,6) = 0

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