[3] Construa uma tabela para a função
com os pontos:
(a) Obtenha um polinômio interpolador de grau 2 para estimar
.
(b) Descreva as vantagens e desvantagens do método utilizado no item anterior, caso você tivesse que obter um polinômio interpolador de grau 3 .
(a) Obtenha um polinômio interpolador de grau 2 para estimar
(b) Descreva as vantagens e desvantagens do método utilizado no item anterior, caso você tivesse que obter um polinômio interpolador de grau 3 .
Passo 1
O enunciado pede para montar uma tabela de valores de
em cinco pontos e, em seguida, usar três desses pontos para construir um polinômio interpolador de grau
(método de Lagrange) que nos permita estimar
. No item (b) vamos discutir prós e contras de estender o mesmo método a um polinômio de grau
.
Passo 2
Montamos a tabela de
nos pontos dados, usando valores aproximados com quatro casas decimais:
x \mid f(x)=e^x
—\mid—
\mid
\mid
\mid
\mid
\mid
x \mid f(x)=e^x
—\mid—
Passo 3
Para interpolar em
escolhemos três nós mais próximos:
com
Passo 4
Usamos o polinômio de Lagrange de grau
:
onde
Substituindo os denominadores:
Passo 5
Aproximamos
:
logo
Passo 6
Para estender o método a um polinômio de grau
(quatro nós), teríamos:
Vantagens:
– Maior precisão local se escolhermos nós bem distribuídos;
– Possibilidade de capturar curvaturas maiores de .
– Maior precisão local se escolhermos nós bem distribuídos;
– Possibilidade de capturar curvaturas maiores de
Desvantagens:
– Cálculos mais longos (quatro termos de Lagrange em vez de três);
– Maior risco de erros de arredondamento e instabilidade numérica (fenômeno de Runge);
– Polinômio mais complexo, menos eficiente se precisarmos recalcular para vários pontos.
– Cálculos mais longos (quatro termos de Lagrange em vez de três);
– Maior risco de erros de arredondamento e instabilidade numérica (fenômeno de Runge);
– Polinômio mais complexo, menos eficiente se precisarmos recalcular para vários pontos.
Resposta
(a) O polinômio de Lagrange de grau
em
é
que dá
(b)
Vantagens de usar grau : melhor ajuste à curvatura de
.
Desvantagens: mais termos para calcular, maior custo computacional e maior sensibilidade a erros numéricos.
Vantagens de usar grau
Desvantagens: mais termos para calcular, maior custo computacional e maior sensibilidade a erros numéricos.