[3] Construa uma tabela para a função f(x)=e^{x} com os pontos: 0.8,0.9,1.1,1.2,1.3
(a) Obtenha um polinômio interpolador de grau 2 para estimar e^{1.07}.
(b) Descreva as vantagens e desvantagens do método utilizado no item anterior, caso você tivesse que obter um polinômio interpolador de grau 3 .

Passo 1

O enunciado pede para montar uma tabela de valores de f(x)=e^x em cinco pontos e, em seguida, usar três desses pontos para construir um polinômio interpolador de grau 2 (método de Lagrange) que nos permita estimar e^{1.07}. No item (b) vamos discutir prós e contras de estender o mesmo método a um polinômio de grau 3.

Passo 2

Montamos a tabela de f(x)=e^x nos pontos dados, usando valores aproximados com quatro casas decimais:
x \mid f(x)=e^x
—\mid—
0,8 \mid 2,2255 0,9 \mid 2,4596 1,1 \mid 3,0042 1,2 \mid 3,3201 1,3 \mid 3,6693

Passo 3

Para interpolar em x=1.07 escolhemos três nós mais próximos: x_0=0.9,\;x_1=1.1,\;x_2=1.2 com
y_0 = e^{0.9}=2.4596,\quad y_1 = e^{1.1}=3.0042,\quad y_2 = e^{1.2}=3.3201.

Passo 4

Usamos o polinômio de Lagrange de grau 2:
p_2(x)\;=\;\sum_{i=0}^{2}y_i\,L_i(x),
onde
L_0(x)=\frac{(x-1.1)(x-1.2)}{(0.9-1.1)(0.9-1.2)},\quad L_1(x)=\frac{(x-0.9)(x-1.2)}{(1.1-0.9)(1.1-1.2)},\quad L_2(x)=\frac{(x-0.9)(x-1.1)}{(1.2-0.9)(1.2-1.1)}.
Substituindo os denominadores:
L_0(x)=\frac{(x-1.1)(x-1.2)}{0.06},\quad L_1(x)=\frac{(x-0.9)(x-1.2)}{-0.02},\quad L_2(x)=\frac{(x-0.9)(x-1.1)}{0.03}.

Passo 5

Aproximamos p_2(1.07):
L_0(1.07)=0.065,\quad L_1(1.07)=1.105,\quad L_2(1.07)=-0.170,
logo
p_2(1.07) =2.4596\cdot0.065 +3.0042\cdot1.105 +3.3201\cdot(-0.170) \approx2.9155.

Passo 6

Para estender o método a um polinômio de grau 3 (quatro nós), teríamos:
Vantagens:
– Maior precisão local se escolhermos nós bem distribuídos;
– Possibilidade de capturar curvaturas maiores de e^x.
Desvantagens:
– Cálculos mais longos (quatro termos de Lagrange em vez de três);
– Maior risco de erros de arredondamento e instabilidade numérica (fenômeno de Runge);
– Polinômio mais complexo, menos eficiente se precisarmos recalcular para vários pontos.

Resposta

(a) O polinômio de Lagrange de grau 2 em \{0.9,1.1,1.2\} é
p_2(x)=2.4596\frac{(x-1.1)(x-1.2)}{0.06} +3.0042\frac{(x-0.9)(x-1.2)}{-0.02} +3.3201\frac{(x-0.9)(x-1.1)}{0.03},
que dá
p_2(1.07)\approx2.9155.
(b)
Vantagens de usar grau 3: melhor ajuste à curvatura de e^x.
Desvantagens: mais termos para calcular, maior custo computacional e maior sensibilidade a erros numéricos.

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