Dado o PVI: y^{\prime}=4-2 x, y(0)=2, considere h=0.25 e h=0.5.
(a) Encontre uma aproximação para y(1) usando o método de Euler para cada h.
(b) Compare os seus resultados com a solução exata.

Passo 1

O enunciado pede aproximações de y(1) para o problema de valor inicial
y' = 4 - 2x,\quad y(0)=2
usando o método de Euler com passo h=0,25 e h=0,5, e depois comparar com a solução exata. O conteúdo principal é o método de Euler para EDOs e integração direta para achar a solução exata.

Passo 2

Vamos achar primeiro a solução exata. Como
y' = \frac{dy}{dx} = 4 - 2x,
integramos em x:
y(x) = \int (4 - 2x)\,dx = 4x - x^2 + C.
Usando y(0)=2 obtemos C=2. Portanto
y(x) = -x^2 + 4x + 2,
e em x=1
y(1) = -1 + 4 + 2 = 5.

Passo 3

Aplicando o método de Euler com h=0,25. A fórmula é
y_{n+1} = y_n + h\,(4 - 2x_n),
com x_{n+1} = x_n + h e y_0=2, x_0=0. Calculando passo a passo:
y_1 = 2 + 0,25\,(4 - 2\cdot 0) = 2 + 1 = 3,\quad x_1 = 0,25,
y_2 = 3 + 0,25\,(4 - 2\cdot 0,25) = 3 + 0,875 = 3,875,\quad x_2 = 0,5,
y_3 = 3,875 + 0,25\,(4 - 2\cdot 0,5) = 3,875 + 0,75 = 4,625,\quad x_3 = 0,75,
y_4 = 4,625 + 0,25\,(4 - 2\cdot 0,75) = 4,625 + 0,625 = 5,25,\quad x_4 = 1.
Logo, para h=0,25, y(1)\approx 5,25.

Passo 4

Aplicando o método de Euler com h=0,5. Novamente
y_{n+1} = y_n + 0,5\,(4 - 2x_n),
com y_0=2, x_0=0:
y_1 = 2 + 0,5\,(4 - 2\cdot 0) = 2 + 2 = 4,\quad x_1 = 0,5,
y_2 = 4 + 0,5\,(4 - 2\cdot 0,5) = 4 + 1,5 = 5,5,\quad x_2 = 1.
Logo, para h=0,5, y(1)\approx 5,5.

Passo 5

Comparando com a solução exata y(1)=5, vemos que:
para h=0,25 o erro é \lvert 5,25 - 5\rvert = 0,25,
e para h=0,5 o erro é \lvert 5,5 - 5\rvert = 0,5.
Percebe-se que reduzir o passo diminui o erro, como esperado para o método de Euler.

Resposta

(a) Para h=0,25, y(1)\approx 5,25.
Para h=0,5, y(1)\approx 5,5.
(b) A solução exata é y(1)=5, logo os erros são 0,25 e 0,5, respectivamente.

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