Dado o PVI:
, considere
e
.
(a) Encontre uma aproximação para
usando o método de Euler para cada
.
(b) Compare os seus resultados com a solução exata.
(a) Encontre uma aproximação para
(b) Compare os seus resultados com a solução exata.
Passo 1
O enunciado pede aproximações de
para o problema de valor inicial
usando o método de Euler com passo
e
, e depois comparar com a solução exata. O conteúdo principal é o método de Euler para EDOs e integração direta para achar a solução exata.
Passo 2
Vamos achar primeiro a solução exata. Como
integramos em
:
Usando
obtemos
. Portanto
e em
Passo 3
Aplicando o método de Euler com
. A fórmula é
com
e
,
. Calculando passo a passo:
Logo, para
,
.
Passo 4
Aplicando o método de Euler com
. Novamente
com
,
:
Logo, para
,
.
Passo 5
Comparando com a solução exata
, vemos que:
para o erro é
,
e para o erro é
.
Percebe-se que reduzir o passo diminui o erro, como esperado para o método de Euler.
para
e para
Percebe-se que reduzir o passo diminui o erro, como esperado para o método de Euler.
Resposta
(a) Para
,
.
Para ,
.
Para
(b) A solução exata é
, logo os erros são
e
, respectivamente.