[5] Considere a função f(x)=\cos (x) definida no intervalo [0,1]. Suponha que f deva ser aproximada por um polinômio de grau n de tal forma que o erro cometido seja menor que 10^{-4}. Supondo uma amostragem de f com pontos igualmente espaçados, qual o menor valor de n para que tal erro seja atingido?

Passo 1

Vamos aproximar a função f(x)=\cos(x) em [0,1] por um polinômio de grau n de tal forma que o erro máximo seja menor que 10^{-4}. Para isso, vamos usar o polinômio de Taylor de ordem n centrado em 0 e seu resto de Lagrange.

Passo 2

Pelo Teorema de Taylor, o resto é dado por
R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\,x^{n+1}
para algum \xi entre 0 e x. Como todas as derivadas de \cos(x) têm valor absoluto no máximo 1 e |x|\le1, temos
|R_n(x)| \le \frac{1}{(n+1)!}\,.

Passo 3

Queremos
\frac{1}{(n+1)!} < 10^{-4}.
Logo, precisamos encontrar o menor n tal que (n+1)! seja maior que 10^4.

Passo 4

Vamos testar:
(7)! = 5040 < 10^4, mas
(8)! = 40320 > 10^4.
Isso significa que n+1=8, ou seja n=7, é suficiente para garantir o erro pedido.

Resposta

O menor grau necessário é n=7.

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