[5] Considere a função
definida no intervalo
. Suponha que
deva ser aproximada por um polinômio de grau
de tal forma que o erro cometido seja menor que
. Supondo uma amostragem de
com pontos igualmente espaçados, qual o menor valor de
para que tal erro seja atingido?
Passo 1
Vamos aproximar a função
em
por um polinômio de grau
de tal forma que o erro máximo seja menor que
. Para isso, vamos usar o polinômio de Taylor de ordem
centrado em
e seu resto de Lagrange.
Passo 2
Pelo Teorema de Taylor, o resto é dado por
para algum
entre
e
. Como todas as derivadas de
têm valor absoluto no máximo
e
, temos
Passo 3
Queremos
Logo, precisamos encontrar o menor
tal que
seja maior que
.
Passo 4
Vamos testar:
, mas
.
Isso significa que , ou seja
, é suficiente para garantir o erro pedido.
Isso significa que
Resposta
O menor grau necessário é
.