Use o método de Euler com h=0.25 para encontrar uma aproximação de y(2), onde y é solução do PVI y^{\prime}=\cos x+1, y(0)=-1. Faça o mesmo para h=0.5.

Passo 1

O problema pede para aproximar o valor de y(2), sendo y solução do PVI
y' = \cos x + 1,\quad y(0) = -1,
usando o método de Euler com dois tamanhos de passo diferentes: h=0{,}25 e h=0{,}5. Vamos lembrar a fórmula do método e aplicá-la para cada caso.

Passo 2

No método de Euler, partindo de (x_n,y_n), a iteração é dada por
y_{n+1} \;=\; y_n \;+\; h\,f(x_n,y_n)
onde aqui f(x,y)=\cos x +1. Assim
y_{n+1} = y_n + h\bigl(\cos x_n + 1\bigr),
e x_{n+1}=x_n+h.

Passo 3

Para h=0{,}25 queremos ir de x_0=0 até x_8=2 (pois 8\cdot0{,}25=2). Em forma de soma telescópica temos
y_8 = y_0 + 0{,}25\sum_{n=0}^{7}\bigl(\cos x_n +1\bigr),
com x_n = n\cdot0{,}25.

Passo 4

Calcular \cos x_n+1 para n=0,1,\dots,7:
\{\;2,\;1{,}968912,\;1{,}877582,\;1{,}731689,\;1{,}540302,\;1{,}315322,\;1{,}070737,\;0{,}821754\}\!,
cuja soma é aproximadamente 12{,}326298. Logo
y_8 \approx -1 + 0{,}25\times12{,}326298 = -1 + 3{,}0815745 = 2{,}0815745.

Passo 5

Para h=0{,}5 seguimos igual até x_4=2 ( 4\cdot0{,}5=2):
y_4 = -1 + 0{,}5\sum_{n=0}^{3}\bigl(\cos(n\cdot0{,}5)+1\bigr).
Os termos \cos x_n+1 são
\{\,2,\;1{,}877582,\;1{,}540302,\;1{,}070737\},
soma 6{,}488621, então
y_4 \approx -1 + 0{,}5\times6{,}488621 = -1 + 3{,}2443105 = 2{,}2443105.

Resposta

Para h=0{,}25, y(2)\approx 2{,}0816.
Para h=0{,}5, y(2)\approx 2{,}2443.

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