Dada a função f(x)=\log _{2}(x) :
(a) Construa o polinômio interpolador na forma de Newton usando os pontos x_{1}=1, x_{2}=2 e x_{3}=4. Estime o valor de f(3) e calcule o erro absoluto.
(b) Acrescente o ponto x_{0}=1 / 2 e construa o polinômio interpolador na forma de Newton. Estime o valor de f(3), calcule o erro absoluto e compare com o resultado obtido no item anterior.
(c) Qual seria a desvantagem de utilizar a fórmula de Lagrange para resolver o item (b) do exercício?
Passo 1
O enunciado pede para interpolar a função \log_{2}(x) em alguns nós e estimar \log_{2}(3), usando o polinômio de Newton e comparando erros. Vamos precisar de diferenças divididas para montar o polinômio, avaliar em x=3 e calcular o erro absoluto frente ao valor exato \log_{2}(3).
Comparando com (a), o erro cresceu de 0,0817 para 0,2040.
Passo 4
(c) Se usássemos a fórmula de Lagrange para o item (b), ao adicionar o nó x_{0}=\tfrac12 teríamos de recompor todas as bases de Lagrange envolvendo os quatro pontos, refazendo todos os termos do polinômio. Isso é muito trabalhoso e pouco eficiente em comparação à forma de Newton, que permite incluir um nó extra apenas calculando as novas diferenças divididas e acrescentando um fator ao polinômio já existente.
P_{3}(3)\approx1,3810, \quad \text{erro}\approx0,2040\;(\text{maior que em (a)}).
(c) A desvantagem da fórmula de Lagrange é que, ao adicionar um novo ponto, é necessário recalcular todas as funções base de Lagrange, o que torna o processo muito mais custoso do que usar o polinômio de Newton incremental.