Dada a função f(x)=\log _{2}(x) :
(a) Construa o polinômio interpolador na forma de Newton usando os pontos x_{1}=1, x_{2}=2 e x_{3}=4. Estime o valor de f(3) e calcule o erro absoluto.
(b) Acrescente o ponto x_{0}=1 / 2 e construa o polinômio interpolador na forma de Newton. Estime o valor de f(3), calcule o erro absoluto e compare com o resultado obtido no item anterior.
(c) Qual seria a desvantagem de utilizar a fórmula de Lagrange para resolver o item (b) do exercício?

Passo 1

O enunciado pede para interpolar a função \log_{2}(x) em alguns nós e estimar \log_{2}(3), usando o polinômio de Newton e comparando erros. Vamos precisar de diferenças divididas para montar o polinômio, avaliar em x=3 e calcular o erro absoluto frente ao valor exato \log_{2}(3).

Passo 2

(a) Nós x_{1}=1, x_{2}=2, x_{3}=4.
Valores:
f(1)=0,\quad f(2)=1,\quad f(4)=2.
Diferenças divididas:
f[x_{1},x_{2}]=\frac{1-0}{2-1}=1, \quad f[x_{2},x_{3}]=\frac{2-1}{4-2}=\tfrac12,
f[x_{1},x_{2},x_{3}] =\frac{\tfrac12-1}{4-1}=-\frac{1}{6}.
Polinômio de Newton de grau 2:
P_{2}(x) =0+1\,(x-1)-\frac{1}{6}(x-1)(x-2).
Avaliação em x=3:
P_{2}(3) = (3-1)-\frac{1}{6}(3-1)(3-2) =2-\frac{2}{6} =\frac{5}{3}\approx1,6667.
Valor exato:
\log_{2}(3)=\frac{\ln3}{\ln2}\approx1,58496.
Erro absoluto:
\bigl|P_{2}(3)-\log_{2}(3)\bigr| \approx\bigl|1,6667-1,58496\bigr| \approx0,0817.

Passo 3

(b) Acrescentamos x_{0}=\tfrac12 com f(\tfrac12)=-1. Nós em ordem: 0{,}5,1,2,4.
Primeiras diferenças:
f[x_{0},x_{1}]=\frac{0-(-1)}{1-0{,}5}=2, \quad f[x_{1},x_{2}]=1, \quad f[x_{2},x_{3}]=\tfrac12.
Segundas diferenças:
f[x_{0},x_{1},x_{2}] =\frac{1-2}{2-0{,}5}=-\frac{2}{3}, \quad f[x_{1},x_{2},x_{3}] =\frac{\tfrac12-1}{4-1}=-\frac{1}{6}.
Terceira diferença:
f[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}] =\frac{-\tfrac{1}{6}-\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)}{4-0{,}5} =\frac{\tfrac12}{3{,}5} =\frac{1}{7}.
Polinômio de Newton de grau 3:
P_{3}(x) =-1+2\,(x-0{,}5) -\frac{2}{3}(x-0{,}5)(x-1) +\frac{1}{7}(x-0{,}5)(x-1)(x-2).
Avaliação em x=3:
P_{3}(3) =-1+2\cdot2{,}5 -\frac{2}{3}\cdot2{,}5\cdot2 +\frac{1}{7}\cdot2{,}5\cdot2\cdot1 \approx1,3810.
Erro absoluto:
\bigl|P_{3}(3)-\log_{2}(3)\bigr| \approx\bigl|1,3810-1,58496\bigr| \approx0,2040.
Comparando com (a), o erro cresceu de 0,0817 para 0,2040.

Passo 4

(c) Se usássemos a fórmula de Lagrange para o item (b), ao adicionar o nó x_{0}=\tfrac12 teríamos de recompor todas as bases de Lagrange envolvendo os quatro pontos, refazendo todos os termos do polinômio. Isso é muito trabalhoso e pouco eficiente em comparação à forma de Newton, que permite incluir um nó extra apenas calculando as novas diferenças divididas e acrescentando um fator ao polinômio já existente.

Resposta

(a)
P_{2}(x)= (x-1)-\tfrac{1}{6}(x-1)(x-2), \quad P_{2}(3)=\tfrac{5}{3}\approx1,6667, \quad \text{erro}\approx0,0817.
(b)
P_{3}(x)=-1+2(x-0{,}5)-\tfrac{2}{3}(x-0{,}5)(x-1)+\tfrac{1}{7}(x-0{,}5)(x-1)(x-2),
P_{3}(3)\approx1,3810, \quad \text{erro}\approx0,2040\;(\text{maior que em (a)}).
(c) A desvantagem da fórmula de Lagrange é que, ao adicionar um novo ponto, é necessário recalcular todas as funções base de Lagrange, o que torna o processo muito mais custoso do que usar o polinômio de Newton incremental.

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