A x = b,\quad A = \begin{pmatrix} 1 & -4 & -1\\\\ -2&9&3\\\\ 0&1&1 \end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 4\end{pmatrix},
usando decomposição LU com pivotação parcial. A ideia é achar uma matriz de permutação P, uma triangular inferior L (com 1 na diagonal) e uma triangular superior U tais que
P\,A = L\,U.
Então resolvemos em dois estágios: 1) L\,y = P\,b. 2) U\,x = y.
Passo 2
Aplicando o algoritmo de Gauss com pivotação parcial:
Etapa j=1
Coluna 1 em \{1,2,3\}: os valores são \lvert1\rvert,\lvert-2\rvert,\lvert0\rvert, máximo em linha 2.
Elimina em baixo do pivô:\text{linha}_2 \leftarrow \text{linha}_2 - \ell_{21}\,\text{linha}_1, \quad \text{linha}_3 \leftarrow \text{linha}_3 - \ell_{31}\,\text{linha}_1.
Etapa j=2
Agora na submatriz linhas 2–3 colunas 2–3, com u_{22}=0,5 e u_{32}=1, máximo em linha 3.
Troca linha 2\leftrightarrow3 em U, em P e também em L nas colunas 1 até j-1.
Pivot passa a ser u_{22}=1.
Calcula-se\ell_{32} = \frac{u_{32}}{u_{22}} = \frac{0,5}{1} = \tfrac12,e elimina-se em baixo do pivô:\text{linha}_3 \leftarrow \text{linha}_3 - \ell_{32}\,\text{linha}_2.
Não há mais pivôs não nulos na última linha, pois u_{33}=0. Ao final obtemos
P = \begin{pmatrix} 0&1&0\\\\ 0&0&1\\\\ 1&0&0 \end{pmatrix},\quad L = \begin{pmatrix} 1&0&0\\\\ 0&1&0\\\\ -\tfrac12&\tfrac12&1 \end{pmatrix},\quad U = \begin{pmatrix} -2&9&3\\\\ 0&1&1\\\\ 0&0&0 \end{pmatrix},