Em cada caso:
a) Verifique o critério de Sassenfeld é satisfeito
b) Resolva por Gauss-Seidel, se possível
\mathbf{A}=\left(\begin{array}{rrr}10 & 1 & 1 \\\\ 1 & 10 & 1 \\\\ 1 & 1 & 10\end{array}\right) ; \quad \mathbf{b}=\left(\begin{array}{l}12 \\\\ 12 \\\\ 12\end{array}\right)

e

\mathrm{A}=\left(\begin{array}{rrrr}4 & -1 & 0 & 0 \\\\ -1 & 4 & -1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 4 & -1 \\\\ 0 & 0 & -1 & 4\end{array}\right) ; \quad \mathrm{b}=\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede, para dois sistemas lineares distintos, que a) apliquemos o critério de Sassenfeld para verificar se Gauss–Seidel converge e b) executemos uma iteração de Gauss–Seidel até aproximar a solução. Vamos tratar primeiro o sistema 3\times 3 e depois o 4\times 4.

Passo 2

Sistema 1:
A = \begin{pmatrix}10 & 1 & 1\\\ 1 & 10 & 1\\\ 1 & 1 & 10\end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix}12\\\ 12\\\ 12\end{pmatrix}.
Pelo critério de Sassenfeld definimos
\beta_1=\frac{|1|+|1|}{10}=0{,}2,
\beta_2=\frac{|1|\beta_1+|1|}{10}=\frac{0{,}2+1}{10}=0{,}12,
\beta_3=\frac{|1|\beta_1+|1|\beta_2}{10}=\frac{0{,}2+0{,}12}{10}=0{,}032.
Como \max(\beta_i)=0{,}2<1, Gauss–Seidel converge.

Passo 3

Esquema de iteração Gauss–Seidel para o sistema 1, com chute inicial x^{(0)}=(0,0,0):
x_1^{(k+1)}=\frac{12 - x_2^{(k)} - x_3^{(k)}}{10},\quad x_2^{(k+1)}=\frac{12 - x_1^{(k+1)} - x_3^{(k)}}{10},\quad x_3^{(k+1)}=\frac{12 - x_1^{(k+1)} - x_2^{(k+1)}}{10}.
Duas iterações dão
x^{(1)}=(1{,}2,\;1{,}08,\;0{,}972),\quad x^{(2)}\approx(0{,}9948,\;1{,}0033,\;1{,}0002),
já muito próximo de (1,1,1).

Passo 4

Sistema 2:
A=\begin{pmatrix} 4 & -1 & 0 & 0\\\\ -1 & 4 & -1 & 0\\\\ 0 & -1 & 4 & -1\\\\ 0 & 0 & -1 & 4 \end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
Calculamos
\beta_1=\frac{|{-1}|}{4}=0{,}25,
\beta_2=\frac{|{-1}|\beta_1+|{-1}|}{4}=\frac{0{,}25+1}{4}=0{,}3125,
\beta_3=\frac{|{-1}|\beta_2+|{-1}|}{4}=\frac{0{,}3125+1}{4}=0{,}328125,
\beta_4=\frac{|{-1}|\beta_3}{4}=\frac{0{,}328125}{4}=0{,}08203125.
Como \max(\beta_i)=0{,}328125<1, Gauss–Seidel também converge.

Passo 5

Esquema de iteração Gauss–Seidel para o sistema 2, com x^{(0)}=(0,0,0,0):
x_1^{(k+1)}=\frac{1 + x_2^{(k)}}{4},\quad x_2^{(k+1)}=\frac{1 + x_1^{(k+1)} + x_3^{(k)}}{4},\quad x_3^{(k+1)}=\frac{1 + x_2^{(k+1)} + x_4^{(k)}}{4},\quad x_4^{(k+1)}=\frac{1 + x_3^{(k+1)}}{4}.
Duas iterações dão, por exemplo,
x^{(1)}\approx(0{,}25,\;0{,}3125,\;0{,}3281,\;0{,}3320),\quad x^{(2)}\approx(0{,}3281,\;0{,}4141,\;0{,}4365,\;0{,}3591),
e, ao convergir, encontra-se
x\approx\bigl(\tfrac{4}{11},\tfrac{5}{11},\tfrac{5}{11},\tfrac{4}{11}\bigr).

Resposta

Em ambos os sistemas o critério de Sassenfeld é satisfeito ( \max\beta_i<1) e Gauss–Seidel converge.
Sistema 1: x=(1,1,1).
Sistema 2: x\approx\bigl(4/11,\,5/11,\,5/11,\,4/11\bigr).

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