[9] A fórmula de integração
\int_{-1}^{1} f(x) d x=\frac{1}{9}[5 f(-\sqrt{0.6})+8 f(0)+5 f(\sqrt{0.6})]
é exta para polinômios de grau menor ou igual a 5 . Utilize-a para avaliar \int_{0}^{3} x^{5} d x.

Passo 1

O enunciado dá a fórmula de quadratura
\int_{-1}^{1}f(x)\,dx = \frac{1}{9}\bigl[5f(-\sqrt{0,6}) + 8f(0) + 5f(\sqrt{0,6})\bigr]
que é exata para polinômios de grau até 5, e pede para usar essa regra em
\int_{0}^{3} x^{5}\,dx.
O conteúdo principal aqui é aplicar uma mudança de variável para levar o intervalo [0,3] em [-1,1] e então usar a fórmula dada.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
x = \frac{3}{2} + \frac{3}{2}\,t,
de modo que t\in[-1,1]. Daí
dx = \frac{3}{2}\,dt
e
\int_{0}^{3} x^{5}\,dx = \int_{-1}^{1} \bigl(x(t)\bigr)^{5}\,\frac{3}{2}\,dt = \frac{3}{2}\int_{-1}^{1} f\bigl(t\bigr)\,dt,
onde f(t)=\bigl(x(t)\bigr)^{5}.

Passo 3

Pela fórmula de quadratura, como f é polinômio de grau 5, temos
\int_{-1}^{1}f(t)\,dt = \frac{1}{9}\Bigl[5f(-\sqrt{0,6}) + 8f(0) + 5f(\sqrt{0,6})\Bigr].
Então
\int_{0}^{3} x^{5}\,dx = \frac{3}{2}\,\frac{1}{9}\Bigl[5f(-\sqrt{0,6}) + 8f(0) + 5f(\sqrt{0,6})\Bigr].

Passo 4

Agora calculamos cada f nos pontos:
definimos c=\tfrac{3}{2} e r=\sqrt{0,6}. Então
x(0)=c,\quad x(\pm r)=c\,(1\pm r),
logo
f(0) = c^{5}, \qquad f(\pm r)=\bigl(c(1\pm r)\bigr)^{5}=c^{5}(1\pm r)^{5}.
Substituindo:
\int_{0}^{3}x^{5}\,dx = \frac{3}{2}\,\frac{1}{9}\Bigl[5c^{5}(1+r)^{5}+8c^{5}+5c^{5}(1-r)^{5}\Bigr] = \frac{3}{2}\,\frac{c^{5}}{9}\Bigl[5\bigl((1+r)^{5}+(1-r)^{5}\bigr)+8\Bigr].

Passo 5

Calculamos a soma simétrica:
(1+r)^{5}+(1-r)^{5} =2\bigl(1 + 10r^{2} + 5r^{4}\bigr),
porque os termos ímpares em r se cancelam.

Passo 6

Logo o colchete vira
5\cdot2\bigl(1+10r^{2}+5r^{4}\bigr)+8 =10 +100r^{2}+50r^{4}+8 =18 +100\cdot0,6 +50\cdot0,36 =18+60+18=96.
Portanto
\int_{0}^{3}x^{5}\,dx = \frac{3}{2}\,\frac{c^{5}}{9}\cdot96 = \frac{3}{2}\,\frac{96}{9}\,c^{5} = \frac{32}{3}\,c^{6},
pois multiplicamos c^{5} por \tfrac{3}{2} dentro de c^{6}.

Passo 7

Como c=\tfrac{3}{2}, temos
c^{6}=\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr)^{6}=\frac{3^{6}}{2^{6}}=\frac{729}{64},
então
\int_{0}^{3}x^{5}\,dx = \frac{32}{3}\cdot \frac{729}{64} = \frac{729}{6} = \frac{243}{2}.

Resposta

\int_{0}^{3}x^{5}\,dx = \frac{243}{2}.

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