Calcule as integrais usando a Quadratura de Gauss com dois pontos:
\int_{1}^{4} \frac{\sqrt{x} \ln (x)}{1+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
I = \int_{1}^{4} \frac{\sqrt{x}\,\ln(x)}{1+x^{2}}\,dx
usando a quadratura de Gauss com dois pontos. O conteúdo é mudança de variável para [-1,1] e aplicação da fórmula de Gauss–Legendre de ordem 2.

Passo 2

Fazemos a transformação linear
x = \frac{1+4}{2} + \frac{4-1}{2}\,t = 2{,}5 + 1{,}5\,t, \quad dx = \frac{4-1}{2}\,dt = 1{,}5\,dt,
de modo que
I = \int_{-1}^{1} \frac{\sqrt{2{,}5+1{,}5\,t}\,\ln\bigl(2{,}5+1{,}5\,t\bigr)}{1+(2{,}5+1{,}5\,t)^{2}}\;1{,}5\,dt.

Passo 3

Na quadratura de Gauss–Legendre com dois pontos em [-1,1] temos nós
t_{1} = -\frac{1}{\sqrt{3}},\quad t_{2} = \frac{1}{\sqrt{3}},
e pesos w_{1}=w_{2}=1. Assim
I \approx 1{,}5\bigl[f(x_{1}) + f(x_{2})\bigr],
onde x_{i} = 2{,}5 + 1{,}5\,t_{i} e
f(x) = \frac{\sqrt{x}\,\ln(x)}{1+x^{2}}.

Passo 4

Calculamos os dois pontos na variável x:
x_{1} = 2{,}5 + 1{,}5\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr)\approx 1{,}633975, \quad x_{2} = 2{,}5 + 1{,}5\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr)\approx 3{,}366025.

Passo 5

Avaliamos f em cada ponto:
f(x_{1}) =\frac{\sqrt{1{,}633975}\,\ln(1{,}633975)}{1+(1{,}633975)^{2}} \approx \frac{1{,}2783\times0{,}4906}{1+2{,}6700} \approx 0{,}1709,
f(x_{2}) =\frac{\sqrt{3{,}366025}\,\ln(3{,}366025)}{1+(3{,}366025)^{2}} \approx \frac{1{,}8346\times1{,}2120}{1+11{,}3310} \approx 0{,}1803.

Passo 6

Substituindo em
I \approx 1{,}5\bigl(0{,}1709 + 0{,}1803\bigr) =1{,}5\times0{,}3512 \approx 0{,}5268.

Resposta

A aproximação pelo método de Gauss com dois pontos é
I \approx 0{,}5268.

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