(3pontos) Dada a equação
, deseja-se encontrar a sua raiz.
a) Mostre que a equação pode ser escrita na forma de ponto fixo
como
b) Partindo da aproximação inicial
, execute duas iterações do Método do ponto fixo para enxon
e
c) Execute uma iteração do Método de Newton-Raphson para a função
partindo do mesmo
.
d) Compare o resultado de
de Newton-Raphson e do Ponto Fixo. Qual parece estar convergindo mais rapidamente para a raiz (valor real
)?
a) Mostre que a equação pode ser escrita na forma de ponto fixo
b) Partindo da aproximação inicial
c) Execute uma iteração do Método de Newton-Raphson para a função
d) Compare o resultado de
Passo 1
O enunciado pede para achar a raiz da equação
que tem valor aproximado real
. Vamos:
- a) reescrever essa equação na forma de ponto fixo
; - b) usar iterações de ponto fixo a partir de
para obter e ; - c) usar uma iteração de Newton–Raphson em
partindo de
;
- d) comparar qual método parece convergir mais rápido.
Passo 2
Para obter a forma de ponto fixo escolhemos
e isolamos
:
Passo 3
Aplicamos agora o método do ponto fixo
com
:
Passo 4
No método de Newton–Raphson usaremos
A iteração é
Passo 5
Comparando os resultados para a primeira iteração de cada método:
- Ponto fixo:
, - Newton–Raphson:
.
Como a raiz verdadeira é, vemos que o valor de Newton–Raphson já está muito mais próximo na primeira iteração.
Resposta
a) A forma de ponto fixo é
.
b) ,
.
c) Com Newton–Raphson, .
d) O método de Newton–Raphson converge mais rapidamente para a raiz.
b)
c) Com Newton–Raphson,
d) O método de Newton–Raphson converge mais rapidamente para a raiz.