(3pontos) Dada a equação e^{x}-x=0, deseja-se encontrar a sua raiz.
a) Mostre que a equação pode ser escrita na forma de ponto fixo x=g(x) como x=e^{-x}
b) Partindo da aproximação inicial x_{0}=0.5, execute duas iterações do Método do ponto fixo para enxon \operatorname{trar} x_{1} e x_{2}
c) Execute uma iteração do Método de Newton-Raphson para a função f(x)=e^{-x}-x partindo do mesmo x_{0}=0.5.
d) Compare o resultado de x_{1} de Newton-Raphson e do Ponto Fixo. Qual parece estar convergindo mais rapidamente para a raiz (valor real \approx 0.56714 )?

Passo 1

O enunciado pede para achar a raiz da equação
e^{-x}-x=0,
que tem valor aproximado real x\approx0,56714. Vamos:
  • a) reescrever essa equação na forma de ponto fixo x=g(x);
  • b) usar iterações de ponto fixo a partir de x_{0}=0,5 para obter x_{1} e x_{2};
  • c) usar uma iteração de Newton–Raphson em
f(x)=e^{-x}-x
partindo de x_{0}=0,5;
  • d) comparar qual método parece convergir mais rápido.

Passo 2

Para obter a forma de ponto fixo escolhemos
f(x)=e^{-x}-x=0
e isolamos x:
e^{-x}=x \quad\Longrightarrow\quad x=g(x)=e^{-x}.

Passo 3

Aplicamos agora o método do ponto fixo x_{n+1}=g(x_{n}) com x_{0}=0,5:
x_{1}=g(x_{0})=e^{-0,5}\approx0,60653,
x_{2}=g(x_{1})=e^{-0,60653}\approx0,54524.

Passo 4

No método de Newton–Raphson usaremos
f(x)=e^{-x}-x, \quad f'(x)=-e^{-x}-1.
A iteração é
x_{1}=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})} =0,5-\frac{e^{-0,5}-0,5}{-e^{-0,5}-1} =0,5-\frac{0,60653-0,5}{-0,60653-1} \approx0,56633.

Passo 5

Comparando os resultados para a primeira iteração de cada método:
  • Ponto fixo: x_{1}^{\text{(PF)}}\approx0,60653,
  • Newton–Raphson: x_{1}^{\text{(NR)}}\approx0,56633.
    Como a raiz verdadeira é \approx0,56714, vemos que o valor de Newton–Raphson já está muito mais próximo na primeira iteração.

Resposta

a) A forma de ponto fixo é x=g(x)=e^{-x}.
b) x_{1}\approx0,60653, x_{2}\approx0,54524.
c) Com Newton–Raphson, x_{1}\approx0,56633.
d) O método de Newton–Raphson converge mais rapidamente para a raiz.

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