Determine os subgrupos não triviais, somente os não triviais, do grupo multiplicativo
G=\left(\mathbb{Z}_{19}^{*}, \cdot\right)

Passo 1

O enunciado pede os subgrupos não triviais de G=(\mathbb Z_{19}^*,\cdot). Sabemos que \lvert G\rvert=\varphi(19)=18, e que G é cíclico. Pelo Teorema de Lagrange, todo subgrupo de G tem ordem que divide 18. Os divisores de 18 são
1,2,3,6,9,18,
portanto os subgrupos não triviais próprios correspondem às ordens 2,3,6,9.

Passo 2

Para construir cada subgrupo explicitamente, escolhemos um gerador primitivo g de G. Testando potências de 2 mostra-se que 2 tem ordem 18 em \mathbb Z_{19}^*, pois para cada divisor próprio d\in\{1,2,3,6,9\} tem-se 2^d\not\equiv1\pmod{19}. Logo podemos usar g=2.

Passo 3

O subgrupo de ordem 2 é
\langle 2^{18/2}\rangle=\langle 2^9\rangle.
Como
2^9\equiv18\pmod{19},
segue
\langle2^9\rangle=\{1,18\}.

Passo 4

O subgrupo de ordem 3 é
\langle2^{18/3}\rangle=\langle2^6\rangle.
Calculando,
2^6\equiv64\equiv7\pmod{19},\qquad7^2\equiv49\equiv11\pmod{19},
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\langle2^6\rangle=\{1,7,11\}.

Passo 5

O subgrupo de ordem 6 é
\langle2^{18/6}\rangle=\langle2^3\rangle.
Como
2^3\equiv8\pmod{19},
temos
8^2\equiv7,\quad8^3\equiv18,\quad8^4\equiv11,\quad8^5\equiv12\pmod{19},
portanto
\langle2^3\rangle=\{1,8,7,18,11,12\}.

Passo 6

O subgrupo de ordem 9 é
\langle2^{18/9}\rangle=\langle2^2\rangle.
Como
2^2\equiv4\pmod{19},
calculando potências de 4 até a oitava:
4^2\equiv16,\; 4^3\equiv7,\; 4^4\equiv9,\; 4^5\equiv17,\; 4^6\equiv11,\; 4^7\equiv6,\; 4^8\equiv5\pmod{19},
segue
\langle2^2\rangle=\{1,4,16,7,9,17,11,6,5\}.

Resposta

Os subgrupos não triviais próprios de G são: \{1,18\}, \{1,7,11\}, \{1,8,7,18,11,12\} e \{1,4,16,7,9,17,11,6,5\}.

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