Determine os subgrupos não triviais, somente os não triviais, do grupo multiplicativo
Passo 1
O enunciado pede os subgrupos não triviais de
. Sabemos que
, e que
é cíclico. Pelo Teorema de Lagrange, todo subgrupo de
tem ordem que divide
. Os divisores de
são
portanto os subgrupos não triviais próprios correspondem às ordens
.
Passo 2
Para construir cada subgrupo explicitamente, escolhemos um gerador primitivo
de
. Testando potências de
mostra-se que
tem ordem
em
, pois para cada divisor próprio
tem-se
. Logo podemos usar
.
Passo 3
O subgrupo de ordem
é
Como
segue
Passo 4
O subgrupo de ordem
é
Calculando,
logo
Passo 5
O subgrupo de ordem
é
Como
temos
portanto
Passo 6
O subgrupo de ordem
é
Como
calculando potências de
até a oitava:
segue
Resposta
Os subgrupos não triviais próprios de
são:
,
,
e
.