Determine o grupo
\left(\frac{G}{H},+\right)
para
\left(\mathbb{Z}_{15},+\right)
e H=\{\overline{0}, \overline{5}, \overline{10}\}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o grupo quociente \bigl(\mathbb{Z}_{15}/H,+\bigr), onde \mathbb{Z}_{15} é o grupo aditivo das classes mod 15 e
H = \{\overline{0},\,\overline{5},\,\overline{10}\}.
O conteúdo necessário é o conceito de grupo quociente e o teorema de Lagrange para grupos finitos.

Passo 2

Primeiro verificamos que H é subgrupo de \mathbb{Z}_{15}.
  1. Identidade: \overline{0}\in H.
  2. Fechamento: se a,b\in\{0,5,10\} então a+b\equiv 0,5 ou 10\pmod{15}, logo \overline{a}+\overline{b}\in H.
  3. Inversos: os inversos de \overline{5} e \overline{10} em \mathbb{Z}_{15} são \overline{10} e \overline{5}, ambos em H.

Passo 3

As classes laterais (cosets) de H em \mathbb{Z}_{15} são dadas por
\overline{a}+H = \{\overline{a},\,\overline{a+5},\,\overline{a+10}\}.
Bastam os representantes \overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4}, pois |\mathbb{Z}_{15}|/|H|=15/3=5. Assim os cosets são:
\begin{aligned} \overline{0}+H &= \{\overline{0},\overline{5},\overline{10}\},\\\ \overline{1}+H &= \{\overline{1},\overline{6},\overline{11}\},\\\ \overline{2}+H &= \{\overline{2},\overline{7},\overline{12}\},\\\ \overline{3}+H &= \{\overline{3},\overline{8},\overline{13}\},\\\ \overline{4}+H &= \{\overline{4},\overline{9},\overline{14}\}. \end{aligned}

Passo 4

A operação em \mathbb{Z}_{15}/H é
(\overline{a}+H)+(\overline{b}+H) =(\overline{a+b})+H,
que fecha no conjunto de cinco cosets acima. Como \overline{1}+H gera todos os cosets por soma repetida, o grupo é cíclico de ordem 5.

Resposta

\displaystyle \mathbb{Z}_{15}/H\cong \mathbb{Z}_{5}.

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