Um engenheiro químico está modelando a taxa de reação de uma determinada substância em um reator. A taxa de reação, R, em função da concentração da substância, C, é dada pela seguinte equação:
R\text{(c)}=k C^{2} \cdot \frac{\left(C_{\max }-C\right)}{1+k C^{2}}
Onde:
  • R taxa de reação.
  • C Concentração da substância.
  • C_{\text {max }} concentração máxima da substância.
  • k constante de velocidade da reação.
O engenheiro deseja encontrar a concentração para a qual a reação é máxima.
a) Encontre a expressão da derivada da função R\text{(C)} em relação a C.
b) Utilize o Método de Newton-Raphson para encontrar a concentração que maximiza a taxa de reação, considerando C_{\max }=10 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} e k=0.5 \mathrm{~L} / \mathrm{mol} . \mathrm{s}. Utilize como ponto inicial C_{0}=5 \mathrm{~mol} / \mathrm{Le} realize as iterações até que o erro absoluto seja menor que 10^{-5} \mathrm{~mol} / \mathrm{L}.
  • E A_{x}=x-\bar{x}
  • E R_{x}=\frac{E A_{x}}{\bar{x}}
  • E R_{O P}<10^{-t+1} Truncamento
  • E R_{O P}<\frac{1}{2} 10^{-t+1} arredondamento
  • E A_{x+y}=E A_{x}+E A_{y}
  • E A_{x-y}=E A_{x}-E A_{y}
  • E A_{x y}=\bar{x} E A_{y}+\bar{y} E A_{x}
  • E A_{x / y}=\frac{\bar{y} E A_{x}-\bar{x} E A_{y}}{\bar{y}^{2}}
  • E R_{x+y}=E A_{x}\left(\frac{\bar{x}}{\bar{x}+\bar{y}}\right)+E A_{y}\left(\frac{\bar{y}}{\bar{x}+\bar{y}}\right)
  • E R_{x=y}=E A_{x}\left(\frac{\bar{x}}{\bar{x}-\bar{y}}\right)-E A_{y}\left(\frac{\bar{y}}{\bar{x}-\bar{y}}\right)
  • E R_{x y}=E R_{x}+E R_{y}
  • E R_{x / y}=E R_{x}-E R_{y}
  • k>\frac{\log (b-a)-\log (\epsilon)}{\log (2)}.

Passo 1

O enunciado dá a taxa de reação
R\text{(C)}=k\,C^{2}\,\frac{\bigl(C_{\max}-C\bigr)}{1+k\,C^{2}}
e pede:
a) a derivada R'\text{(C)},
b) usar Newton–Raphson para achar C que maximiza R com C_{\max}=10, k=0.5, C_{0}=5 e parar quando o erro absoluto \bigl|C_{n+1}-C_{n}\bigr|<10^{-5}.
Vamos precisar de derivação de quociente e do método de Newton.

Passo 2

Calcular R'\text{(C)} por derivada de quociente. Defina
N\text{(C)}=k\,C^{2}(C_{\max}-C), \quad D\text{(C)}=1+k\,C^{2}.
Então
R'\text{(C)} =\frac{N'\text{(C)}\,D\text{(C)}-N\text{(C)}\,D'\text{(C)}}{\bigl(D\text{(C)}\bigr)^{2}}.
Aqui
N'\text{(C)}=k\bigl(2C\,C_{\max}-3C^{2}\bigr), \quad D'\text{(C)}=2kC.

Passo 3

Substituindo e simplificando o numerador, obtemos
R'\text{(C)} =\frac{k\bigl(2C\,C_{\max}-3C^{2}-k\,C^{4}\bigr)}{\bigl(1+k\,C^{2}\bigr)^{2}}.
As condições de extremo vêm de R'\text{(C)}=0, i.e.
2C\,C_{\max}-3C^{2}-k\,C^{4}=0 \;\Longrightarrow\; C\bigl(k\,C^{3}+3C-2C_{\max}\bigr)=0.
Ignoramos C=0 e focamos em
f\text{(C)}=k\,C^{3}+3C-2C_{\max}=0.

Passo 4

Para C_{\max}=10 e k=0.5 temos
f\text{(C)}=0.5\,C^{3}+3C-20, \quad f'\text{(C)}=1.5\,C^{2}+3.
O método de Newton é
C_{n+1} =C_{n}-\frac{f(C_{n})}{f'(C_{n})},
e paramos quando \bigl|C_{n+1}-C_{n}\bigr|<10^{-5}.

Passo 5

Iteramos a partir de C_{0}=5:
\begin{array}{l|r|r|r|r} n & C_{n} & f(C_{n}) & f'(C_{n}) & \bigl|C_{n+1}-C_{n}\bigr|\\hline 0 & 5.000000 & 57.50000 & 40.50000 & 1.419753\\\\ 1 & 3.580247 & 13.69825 & 22.22250 & 0.616441\\\\ 2 & 2.963806 & 1.91390 & 16.17750 & 0.118353\\\\ 3 & 2.845453 & 0.06444 & 15.14490 & 0.004252\\\\ 4 & 2.841201 & -0.00537 & 15.10875 & 0.000355\\\\ 5 & 2.841556 & -0.00031 & 15.11030 & 0.000021\\\\ 6 & 2.841577 & -0.00001 & 15.11037 & 0.000000\\\ \end{array}
Na iteração n=6 já temos \bigl|C_{7}-C_{6}\bigr|<10^{-5}.

Resposta

A concentração que maximiza a taxa de reação é aproximadamente
C\approx2.84158\\ \text{mol/L}.

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