Dados os números a=0.4523 \times 10^{4}, b=0.2116 \times 10^{-3} e c=0.2583 \times 10^{1}. Sabendo que a máquina trabalha com 4 dígitos e as operações são arredondadas no corte dos dígitos, determine:
a) \frac{b^{2}}{c \cdot a}
b) erro relativo e absoluto destas aproximações.

Passo 1

Resumindo: temos a = 0{,}4523\times10^{4}, b = 0{,}2116\times10^{-3} e c = 0{,}2583\times10^{1}.
A máquina trabalha com mantissa de 4 dígitos e arredonda (round‐to‐nearest) a cada operação. Vamos calcular
z = \frac{b^{2}}{c\,a}
e depois obter o erro absoluto e relativo em relação ao valor exato (sem arredondamento).

Passo 2

Colocando em forma normalizada de 4 dígitos:
a = 0{,}4523\times10^{4} = 4{,}523\times10^{3},\quad b = 0{,}2116\times10^{-3} = 2{,}116\times10^{-4},\quad c = 0{,}2583\times10^{1} = 2{,}583\times10^{0}.

Passo 3

Calcular b^{2} e arredondar a 4 dígitos:
(2{,}116)^{2} = 4{,}477456 \quad\Rightarrow\quad b^{2} \approx 4{,}477\times10^{-8}.

Passo 4

Calcular c\cdot a e arredondar a 4 dígitos:
2{,}583\times4{,}523 = 11{,}682909 \quad\Rightarrow\quad c\,a \approx 1{,}168\times10^{4}.

Passo 5

Dividir e arredondar o quociente a 4 dígitos:
\frac{4{,}477\times10^{-8}}{1{,}168\times10^{4}} = \frac{4{,}477}{1{,}168}\times10^{-12}\approx 3{,}8335616\times10^{-12} \quad\Rightarrow\quad z_{\text{aprx}} = 3{,}834\times10^{-12}.

Passo 6

Valor exato (sem arredondar)
z_{\text{exato}} = \frac{0{,}0002116^{2}}{4523\times2{,}583} = \frac{4{,}477456\times10^{-8}}{11682{,}909} \approx 3{,}8335616\times10^{-12}.
Erro absoluto
E_{\text{abs}} = \bigl|z_{\text{aprx}} - z_{\text{exato}}\bigr| = \bigl|3{,}834 - 3{,}8335616\bigr|\times10^{-12} \approx 4{,}384\times10^{-16}.
Erro relativo
E_{\text{rel}} = \frac{E_{\text{abs}}}{\bigl|z_{\text{exato}}\bigr|} \approx \frac{4{,}384\times10^{-16}}{3{,}8335616\times10^{-12}} \approx 1{,}14\times10^{-4}.

Resposta

a) \displaystyle z_{\text{aprx}} = 3{,}834\times10^{-12}.
b) Erro absoluto E_{\text{abs}}\approx4{,}384\times10^{-16}, erro relativo E_{\text{rel}}\approx1{,}14\times10^{-4}.

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