1- Use o método da falsa posição para achar uma aproximação da raiz da função
f(x)=e^{2 x}-x^{4}
tal que
\left|f\left(x_{k}\right)\right| \leq 0,01

Passo 1

O enunciado pede para aproximar uma raiz de
f(x)=e^{2x}-x^{4}
usando o método da falsa posição até que
\bigl|f(x_{k})\bigr|\le 0,01.
Vamos precisar de duas coisas:
  1. Escolher um intervalo [a,b] em que f(a) e f(b) tenham sinais opostos.
  2. Aplicar iterativamente a fórmula da falsa posição
x_{k} \;=\; b \;-\;\frac{f(b)\,\bigl(a-b\bigr)}{f(a)-f(b)}
atualizando o intervalo conforme o sinal de f(x_{k}).

Passo 2

Procuramos [a,b] com f(a)\,f(b)<0. Calculamos
f(-1)=e^{-2}-(-1)^{4}=e^{-2}-1\approx 0,1353-1=-0,8647,
f(0)=e^{0}-0^{4}=1.
Como f(-1)<0 e f(0)>0, existe ao menos uma raiz em [-1,0].

Passo 3

Calculamos a primeira aproximação x_{1} pela falsa posição em [a,b]=[-1,0]:
x_{1} =0-\frac{f(0)\bigl(-1-0\bigr)}{f(-1)-f(0)} =-\frac{1\cdot(-1)}{-0,8647-1} \approx -0,5360.
Em seguida
f(x_{1})=e^{2\cdot(-0,5360)}-(-0,5360)^{4} \approx e^{-1,0720}-0,0826 \approx 0,2594>0.
Como f(-1)<0 e f(x_{1})>0, o novo intervalo é [-1,-0,5360].

Passo 4

Repetimos até \bigl|f(x_{k})\bigr|\le0,01:
Para [a,b]=[-1,-0,5360]:
x_{2} =b-\frac{f(b)\,(a-b)}{f(a)-f(b)} \approx -0,6431, \quad f(x_{2})\approx 0,1050>0.
Para [a,b]=[-1,-0,6431]:
x_{3}\approx -0,6817,\quad f(x_{3})\approx 0,0400>0.
Para [a,b]=[-1,-0,6817]:
x_{4}\approx -0,6957,\quad f(x_{4})\approx 0,0152>0.
Para [a,b]=[-1,-0,6957]:
x_{5}\approx -0,7010,\quad f(x_{5})\approx 0,0053.
Como \bigl|f(x_{5})\bigr|\approx0,0053\le0,01, parámos as iterações.

Resposta

A aproximação da raiz é
x\approx -0,7010,
com \bigl|f(x)\bigr|\approx0,0053\le0,01.

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