2- Use o método da falsa posição para achar uma aproximação da raiz da função
f(x)=\cos (x)-x^{2}
no intervalo [0,1] tal que
\left|f\left(x_{k}\right)\right| \leq 0,01

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a raiz de
f(x)=\cos(x)-x^2
no intervalo [0,1] usando o método da falsa posição até que
\bigl|f(x_k)\bigr|\le 0,01.
Vamos aplicar a regra de interpolação linear e atualizar o intervalo enquanto o critério de tolerância não for satisfeito.

Passo 2

O método da falsa posição consiste em, dado um intervalo [a_i,b_i] com f(a_i)\,f(b_i)<0, calcular
x_i = a_i \;-\;\frac{f(a_i)\,\bigl(b_i-a_i\bigr)}{f(b_i)-f(a_i)}
e então montar o próximo intervalo assim:
se f(a_i)\,f(x_i)<0, então [a_{i+1},b_{i+1}]=[a_i,x_i]; senão [a_{i+1},b_{i+1}]=[x_i,b_i]. Repetimos até \bigl|f(x_i)\bigr|\le0,01.

Passo 3

Inicialmente a_0=0 e b_0=1.
Calculamos
\,f(a_0)=\cos(0)-0^2=1
e
\,f(b_0)=\cos(1)-1\approx -0,4597,
logo f(a_0)\,f(b_0)<0. Aplico a fórmula:
x_1 = 0 \;-\;\frac{1\,(1-0)}{-0,4597-1} \approx 0,6852.
Então
\,f(x_1)=\cos(0,6852)-0,6852^2\approx 0,3045.
Como f(x_1)\,f(b_0)<0, o novo intervalo é [a_1,b_1]=[0,6852,\,1].

Passo 4

Agora a_1=0,6852, b_1=1, f(a_1)\approx0,3045, f(b_1)\approx-0,4597.
x_2 = 0,6852 \;-\;\frac{0,3045\,(1-0,6852)}{-0,4597-0,3045} \approx 0,8107.
Calculamos
\,f(x_2)=\cos(0,8107)-0,8107^2\approx0,0322.
Como f(x_2)\,f(b_1)<0, atualizamos para [a_2,b_2]=[0,8107,\,1].

Passo 5

Agora a_2=0,8107, b_2=1, f(a_2)\approx0,0322, f(b_2)\approx-0,4597.
x_3 = 0,8107 \;-\;\frac{0,0322\,(1-0,8107)}{-0,4597-0,0322} \approx 0,8231.
E
\,f(x_3)=\cos(0,8231)-0,8231^2\approx0,0019.
Como \bigl|f(x_3)\bigr|\approx0,0019\le0,01, atingimos a tolerância e paramos.

Resposta

A raiz aproximada é
x\approx0,8231,
pois nessa iteração \bigl|f(x)\bigr|\approx0,0019\le0,01.

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