(i) Encontre o (s) valor (es) de \alpha para os quais o sistema não tem soluções.
(ii) Encontre o (s) valor (es) de \alpha para os quais o sistema possui um número infinito de soluções.
(iii) Assumindo que existe uma solução única para um determinado \alpha, encontre a solução.
Passo 1
Temos o sistema linear em x,y com parâmetro \alpha:
O conteúdo que vamos usar é o estudo do determinante da matriz dos coeficientes para determinar existência e unicidade de solução e, no caso único, aplicar a Regra de Cramer.
Passo 2
Calculemos o determinante \Delta da matriz dos coeficientes:
Para \alpha\neq\pm\sqrt{\tfrac{2}{15}}, temos \Delta\neq0 e portanto há solução única. Se \alpha=\pm\sqrt{\tfrac{2}{15}}, o sistema pode ser ou inconsistente (nenhuma solução) ou indeterminado (infinitas soluções).
Passo 3
Analisemos o caso \Delta=0, i.e.\ \alpha^2=\tfrac{2}{15}. As duas equações representam retas:
Para infinitas soluções as retas devem coincidir: os coeficientes angulares teriam de ser iguais e também os termos constantes. 1. Igualdade de coeficientes angulares: \tfrac{2}{5\alpha}=3\alpha leva a \alpha^2=\tfrac{2}{15}, exatamente o caso em que \Delta=0. 2. Igualdade de termos independentes: -\tfrac{3}{5\alpha}=-\tfrac32 leva a \alpha=\tfrac25, que não satisfaz \alpha^2=\tfrac{2}{15}.
Como não há coincidência simultânea desses dois requisitos, não existem valores de \alpha que gerem infinitas soluções. Em vez disso, para \alpha=\pm\sqrt{\tfrac{2}{15}} as retas são paralelas e distintas, gerando sistema sem solução.
Passo 4
Quando \Delta\neq0 (\alpha\neq\pm\sqrt{\tfrac{2}{15}}), há solução única e aplicamos Regra de Cramer. Seja
(i) O sistema não tem soluções para \displaystyle \alpha=\pm\sqrt{\tfrac{2}{15}}.
(ii) Não há valores de \alpha que proporcionem número infinito de soluções.
(iii) Para \alpha\neq\pm\sqrt{\tfrac{2}{15}} a solução única é