Dado o sistema linear
\begin{aligned} 2 x-5 \alpha y & =3 \\\\ 3 \alpha x-y & =\frac{3}{2} \end{aligned}
(i) Encontre o (s) valor (es) de \alpha para os quais o sistema não tem soluções.
(ii) Encontre o (s) valor (es) de \alpha para os quais o sistema possui um número infinito de soluções.
(iii) Assumindo que existe uma solução única para um determinado \alpha, encontre a solução.

Passo 1

Temos o sistema linear em x,y com parâmetro \alpha:
\begin{aligned} 2x - 5\alpha\,y &= 3,\\\\ 3\alpha\,x - y &= \tfrac32. \end{aligned}
O conteúdo que vamos usar é o estudo do determinante da matriz dos coeficientes para determinar existência e unicidade de solução e, no caso único, aplicar a Regra de Cramer.

Passo 2

Calculemos o determinante \Delta da matriz dos coeficientes:
\Delta =\begin{vmatrix} 2 & -5\alpha\\\\ 3\alpha & -1 \end{vmatrix} =2\cdot(-1)-(-5\alpha)\cdot(3\alpha) =-2+15\alpha^2 =15\alpha^2-2.
Logo \Delta=0 se, e somente se,
15\alpha^2-2=0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha^2=\tfrac{2}{15} \quad\Longrightarrow\quad \alpha=\pm\sqrt{\tfrac{2}{15}}.
Para \alpha\neq\pm\sqrt{\tfrac{2}{15}}, temos \Delta\neq0 e portanto há solução única. Se \alpha=\pm\sqrt{\tfrac{2}{15}}, o sistema pode ser ou inconsistente (nenhuma solução) ou indeterminado (infinitas soluções).

Passo 3

Analisemos o caso \Delta=0, i.e.\ \alpha^2=\tfrac{2}{15}. As duas equações representam retas:
y=\frac{2}{5\alpha}\,x-\frac{3}{5\alpha}, \quad y=3\alpha\,x-\tfrac32.
Para infinitas soluções as retas devem coincidir: os coeficientes angulares teriam de ser iguais e também os termos constantes.
1. Igualdade de coeficientes angulares:
\tfrac{2}{5\alpha}=3\alpha leva a \alpha^2=\tfrac{2}{15}, exatamente o caso em que \Delta=0.
2. Igualdade de termos independentes:
-\tfrac{3}{5\alpha}=-\tfrac32 leva a \alpha=\tfrac25, que não satisfaz \alpha^2=\tfrac{2}{15}.
Como não há coincidência simultânea desses dois requisitos, não existem valores de \alpha que gerem infinitas soluções. Em vez disso, para \alpha=\pm\sqrt{\tfrac{2}{15}} as retas são paralelas e distintas, gerando sistema sem solução.

Passo 4

Quando \Delta\neq0 ( \alpha\neq\pm\sqrt{\tfrac{2}{15}}), há solução única e aplicamos Regra de Cramer. Seja
\Delta_x =\begin{vmatrix} 3 & -5\alpha\\\ \tfrac32 & -1 \end{vmatrix} =3\cdot(-1)-(-5\alpha)\cdot\tfrac32 =-3+\tfrac{15}{2}\alpha =\tfrac{15\alpha-6}{2},
\Delta_y =\begin{vmatrix} 2 & 3\\\\ 3\alpha & \tfrac32 \end{vmatrix} =2\cdot\tfrac32-3\cdot(3\alpha) =3-9\alpha.
Então
x=\frac{\Delta_x}{\Delta} =\frac{\tfrac{15\alpha-6}{2}}{15\alpha^2-2} \,,\quad y=\frac{\Delta_y}{\Delta} =\frac{3-9\alpha}{15\alpha^2-2}.

Resposta

(i) O sistema não tem soluções para
\displaystyle \alpha=\pm\sqrt{\tfrac{2}{15}}.
(ii) Não há valores de \alpha que proporcionem número infinito de soluções.
(iii) Para \alpha\neq\pm\sqrt{\tfrac{2}{15}} a solução única é
x=\frac{\tfrac{15\alpha-6}{2}}{15\alpha^2-2}, \quad y=\frac{3-9\alpha}{15\alpha^2-2}.

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