Se 4^5+4^5+4^5+4^53^5+3^5+3^5 cdot 6^5+6^5+6^5+6^5+6^5+6^52^5+2^5=2^n, onde n é um inteiro positivo, então n é igual a:

Passo 1

O que o enunciado pede: a gente tem a expressão
4^5+4^5+4^5+4^53^5+3^5+3^5 ;times; 6^5+6^5+6^5+6^5+6^5+6^52^5+2^5 ;=;2^n
e precisa encontrar o inteiro positivo .
Conteúdo: propriedades de potências (como repetir soma vira multiplicação, e como dividir e multiplicar potências).

Passo 2

Primeiro, observa as somas de potências iguais:
4 vezes 4^5+4^5+4^5+4^5 ;=;4times4^5 ;=;4^1cdot4^5 ;=;4^1+5 ;=;4^6, e 3 vezes 3^5+3^5+3^5 ;=;3times3^5 ;=;3^1cdot3^5 ;=;3^1+5 ;=;3^6 .
Quando somamos vezes, é .
Então
e

Passo 3

Agora faz a mesma ideia para a segunda fração:
6 vezes 6^5+6^5+6^5+6^5+6^5+6^5 = 6times6^5 = 6^6, e 2 vezes 2^5+2^5 = 2times2^5 = 2^6 .
Então

Passo 4

Substituindo na expressão original, fica
4^63^6;times;6^62^6
Agora usa duas propriedades básicas de potência:
  1. 4^63^6;times;6^62^6 = l(tfrac43r)^6 times l(tfrac62r)^6 = l(tfrac43timestfrac62r)^6 .
  2. 4^6 .
    Então
Calcula .
Logo a expressão vira

Passo 5

Para escrever 4^6 = (2^2)^6 = 2^2cdot6 = 2^12 como potência de 2, nota que .
Logo
Isso mostra que .

Resposta

.

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