Suponha que 6 cdot 12 cdot 18 ldots ldots ldots 300(2 cdot 6 cdot 10 ldots 98)(4 cdot 8 ldots ldots 100)=3^n. Determine o valor numérico de n.

Passo 1

Então, o enunciado diz que temos a fração
6cdot12cdot18cdots300(2cdot6cdot10cdots98),(4cdot8cdots100) ;=; 3^n
e quer saber qual é o valor de .
Conteúdo: progressão aritmética, produtos de termos, fatoriais e propriedades de potências.
Vamos precisar:
  • Encontrar o número de fatores em cada produto (usando a fórmula da PA).
  • Expressar cada produto em termos de potências e de fatoriais.
  • Simplificar e comparar com .

Passo 2

Primeiro, quantos termos tem cada sequência?
  1. No numerador: 6, 12, 18, …, 300.
    • É uma PA com , razão , último termo .
    • Número de termos é dado por
  2. No denominador, primeiro grupo: 2, 6, 10, …, 98.
    • PA com , , último .
    • Número de termos
  3. No denominador, segundo grupo: 4, 8, 12, …, 100.
    • PA com , , último .
    • Número de termos

Passo 3

Numerador:
6cdot12cdot18cdots300 = prodk=1^50 (6k) = 6^50,prodk=1^50 k = 6^50,50!
e, como 6^50 = (2cdot3)^50 = 2^50,3^50, , fica
2^50,3^50,50!
então o numerador é

Passo 4

Denominador — primeiro grupo prodk=1^25(2(2k-1)) = 2^25,prodk=1^25(2k-1) :
cada termo é 1cdot3cdot5cdots49 = (2cdot25)! / (2^25,25!) = 50!2^25,25! , com 2^25;50!2^25,25! = 50!25! a .
E é o produto dos 25 primeiros ímpares:
Então esse grupo vale

Passo 5

Denominador — segundo grupo prodk=1^254k = 4^25,prodk=1^25k = 4^25,25! :
cada termo é 2^50,25! com a .
E como , esse grupo é

Passo 6

Juntando tudo, o denominador total é
l(tfrac50!25!r),l(2^50,25!r) = 50!;2^50
Logo, a fração original vale
2^50,3^50,50!2^50,50! = 3^50
Então , daí .

Resposta

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