Suponha que
. Determine o valor numérico de
.
Passo 1
Então, o enunciado diz que temos a fração
e quer saber qual é o valor de
.
Conteúdo: progressão aritmética, produtos de termos, fatoriais e propriedades de potências.
Vamos precisar:
Conteúdo: progressão aritmética, produtos de termos, fatoriais e propriedades de potências.
Vamos precisar:
- Encontrar o número de fatores em cada produto (usando a fórmula da PA).
- Expressar cada produto em termos de potências e de fatoriais.
- Simplificar e comparar com
.
Passo 2
Primeiro, quantos termos tem cada sequência?
- No numerador: 6, 12, 18, …, 300.
- É uma PA com
, razão , último termo . - Número de termos
é dado por
- É uma PA com
- No denominador, primeiro grupo: 2, 6, 10, …, 98.
- PA com
, , último . - Número de termos
- PA com
- No denominador, segundo grupo: 4, 8, 12, …, 100.
- PA com
, , último . - Número de termos
- PA com
Passo 3
Numerador:
e, como
, fica
então o numerador é
Passo 4
Denominador — primeiro grupo
:
cada termo é , com
a
.
cada termo é
E
é o produto dos 25 primeiros ímpares:
Então esse grupo vale
Passo 5
Denominador — segundo grupo
:
cada termo é com
a
.
cada termo é
E como
, esse grupo é
Passo 6
Juntando tudo, o denominador total é
Logo, a fração original vale
Então
, daí
.