0,555 mols de vapor d’água a 533,15 \mathrm{~K} expande reversivelmente e isotermicamente, num sistema fechado, de um volume inicial de 2 L até um volume final de 20 L . Quanto trabalho foi realizado? O vapor d’água obedece à seguinte equação de estado:
P=R T\left(\frac{1}{v}+\frac{B}{v^{2}}+\frac{C}{v^{3}}\right)
Em que P é a pressão, R a constante dos gases, T é a temperatura, e v é o volume molar. \mathrm{B}=-0,1422 \mathrm{~L} / \mathrm{mol} ; \mathrm{C}=-0,00714 \mathrm{~L}^{2} / \mathrm{mol}^{2}.
(OBS: atenção às unidades das variáveis!)
R: 5575 J .

Passo 1

O enunciado descreve uma expansão reversível e isotérmica de 0,555 mol de vapor d’água à temperatura constante T=533{,}15,K, de um volume inicial V_i=2,L até V_f=20,L. A equação de estado dada é a forma virial até terceira ordem em volume molar v:
P \;=\; R\,T\Bigl(\frac{1}{v} \;+\;\frac{B}{v^2}\;+\;\frac{C}{v^3}\Bigr)
com B=-0,1422,L/mol e C=-0,00714,L ^2/mol ^2.
Conteúdo: termodinâmica de gases reais e cálculo de trabalho em processo reversível.

Passo 2

Como o sistema é fechado com n mols, o volume molar é v=V/n. Substituindo em P:
P \;=\; R\,T\Bigl(\frac{1}{V/n}+\frac{B}{(V/n)^2}+\frac{C}{(V/n)^3}\Bigr) \;=\; \frac{n\,R\,T}{V}\;+\;\frac{n^2\,R\,T\,B}{V^2}\;+\;\frac{n^3\,R\,T\,C}{V^3}.

Passo 3

O trabalho realizado pelo gás (positiva a expansão) é
w \;=\;\int_{V_i}^{V_f}P\,dV \;=\; \int_{V_i}^{V_f}\Bigl(\frac{nRT}{V}+\frac{n^2RT\,B}{V^2}+\frac{n^3RT\,C}{V^3}\Bigr)dV.

Passo 4

Cada termo integra-se facilmente:
\int\frac{nRT}{V}dV = nRT\ln\frac{V_f}{V_i},
\int\frac{n^2RT\,B}{V^2}dV = -\,\frac{n^2RT\,B}{V}\Big|_{V_i}^{V_f} = -\,n^2RT\,B\Bigl(\frac{1}{V_f}-\frac{1}{V_i}\Bigr),
\int\frac{n^3RT\,C}{V^3}dV = -\,\frac{n^3RT\,C}{2\,V^2}\Big|_{V_i}^{V_f} = -\,\frac{n^3RT\,C}{2}\Bigl(\frac{1}{V_f^2}-\frac{1}{V_i^2}\Bigr).
Somando, obtemos
w = nRT\ln\frac{V_f}{V_i} - n^2RT\,B\Bigl(\frac{1}{V_f}-\frac{1}{V_i}\Bigr) - \frac{n^3RT\,C}{2}\Bigl(\frac{1}{V_f^2}-\frac{1}{V_i^2}\Bigr).

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos (usando R=8{,}314,J/mo l\cdot K, n=0,555 mol, T=533{,}15,K, V_i=2,L, V_f=20,L, B=-0,1422,L/mol, C=-0,00714,L ^2/mol ^2):
  1. nRT = 0{,}555\times8{,}314\times533{,}15\approx2\,462,J
  2. Termo logarítmico:
nRT\ln\frac{20}{2} = 2\,462\times\ln(10)\approx2\,462\times2{,}3026\approx5\,667\)\,J.
  1. Termo em B:
-\,n^2RT\,B\Bigl(\frac{1}{20}-\frac{1}{2}\Bigr) = -\,(0{,}555)^2\times8{,}314\times533{,}15\times(-0{,}1422)\times(-0{,}45) \approx+87{,}5\)\,J.
  1. Termo em C (pequeno):
-\,\frac{n^3RT\,C}{2}\Bigl(\frac{1}{20^2}-\frac{1}{2^2}\Bigr) \approx+0{,}7\)\,J.
Somando:
w\approx5\,667 + 87{,}5 + 0{,}7 \approx5\,755\)\,J\approx5{,}76\text{ kJ}.

Resposta

O trabalho realizado pela expansão isotérmica reversível é aproximadamente 5{,}76 kJ.

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