9 Resolva o sistema linear pelo Método de Gauss-Seidel com \mathrm{x}^{(0)}=(3,1,0,-1)^{\mathrm{T}} e \varepsilon=10^{-4}.
\left\{\begin{array}{l} 4 \cdot x_{1}+1 \cdot x_{2}+1 \cdot x_{3}+1 \cdot x_{4}=7 \\\\ 2 \cdot x_{1}-8 \cdot x_{2}+1 \cdot x_{3}-1 \cdot x_{4}=-6 \\\\ 1 \cdot x_{1}+2 \cdot x_{2}-5 \cdot x_{3}+1 \cdot x_{4}=-1 \\\\ 1 \cdot x_{1}+1 \cdot x_{2}+1 \cdot x_{3}-4 \cdot x_{4}=-1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} 4x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=7,\\\\ 2x_{1}-8x_{2}+x_{3}-x_{4}=-6,\\\ x_{1}+2x_{2}-5x_{3}+x_{4}=-1,\\\ x_{1}+x_{2}+x_{3}-4x_{4}=-1 \end{cases}
pelo método de Gauss–Seidel, usando \mathbf{x}^{(0)}=(3,1,0,-1)^{\mathrm{T}} e critério de parada \varepsilon=10^{-4}. O conteúdo é iterações de métodos lineares, e vamos precisar das fórmulas de atualização de Gauss–Seidel.

Passo 2

Isolamos cada incógnita na sua equação para obter as fórmulas iterativas:
x_{1}^{(k+1)} =\frac{7 - x_{2}^{(k)} - x_{3}^{(k)} - x_{4}^{(k)}}{4},\quad x_{2}^{(k+1)} =\frac{6 + 2\,x_{1}^{(k+1)} + x_{3}^{(k)} - x_{4}^{(k)}}{8},
x_{3}^{(k+1)} =\frac{1 + x_{1}^{(k+1)} + 2\,x_{2}^{(k+1)} + x_{4}^{(k)}}{5},\quad x_{4}^{(k+1)} =\frac{1 + x_{1}^{(k+1)} + x_{2}^{(k+1)} + x_{3}^{(k+1)}}{4}.

Passo 3

Aplicando as fórmulas a \mathbf{x}^{(0)}=(3,1,0,-1)^{\mathrm{T}} obtemos
\mathbf{x}^{(1)} =\begin{pmatrix} 1,75\\\\ 1,3125\\\\ 0,875\\\\ 1,234375 \end{pmatrix},\qquad \mathbf{x}^{(2)} =\begin{pmatrix} 0,89453125\\\\ 0,9287109375\\\\ 0,997265625\\\\ 0,955126953125 \end{pmatrix}.

Passo 4

Continuando as iterações, calculamos
\mathbf{x}^{(3)} =\begin{pmatrix} 1,0297241211\\\\ 1,0126983643\\\\ 1,0020495605\\\\ 1,0111180115 \end{pmatrix},\quad \mathbf{x}^{(4)} =\begin{pmatrix} 0,9935335159\\\\ 0,9972498226\\\\ 0,9998302345\\\\ 0,9976533933 \end{pmatrix}
e verificamos
\|\mathbf{x}^{(4)}-\mathbf{x}^{(3)}\|_{\infty} =\max\bigl|x_{i}^{(4)}-x_{i}^{(3)}\bigr| =0,03619>10^{-4}.
Após mais iterações até k=8 chega-se a
\mathbf{x}^{(8)} =\begin{pmatrix} 0,9999872282\\\\ 0,9999942674\\\\ 0,9999996022\\\\ 0,9999952745 \end{pmatrix},
onde
\|\mathbf{x}^{(8)}-\mathbf{x}^{(7)}\|_{\infty} =7{,}29\times10^{-5}<10^{-4},
logo o critério de parada é satisfeito.

Resposta

\mathbf{x}\approx \begin{pmatrix} 0{,}99999\\\\ 1{,}00000\\\\ 1{,}00000\\\\ 1{,}00000 \end{pmatrix},
ou seja x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=1.

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