Considere um cilindro provido com um pistão que contém 2 mols de água a 1000 K . Qual o trabalho necessário para comprimir esse gás isotérmica e reversivelmente de 10 L para 1 L em cada um dos casos propostos:
a. Use o modelo de gás ideal para água.
b. Use a equação de van der Waals para relacionar \mathrm{P}, v e T:
P=\frac{R T}{v-b}-\frac{a}{v^{2}}
Em que P é a pressão, R a constante dos gases, T é a temperatura, e v é o volume molar. Sendo a=\frac{27}{64} \frac{R^{2} T_{c}^{2}}{P_{c}} \mathrm{e} b=\frac{1}{8} \frac{R T_{c}}{P_{c}}
c. Considerando que a compressão ocorre de maneira irreversível, e que a eficiência no processo de compressão é de 70 \%, utilize a equação de van der Waals e calcule qual será o trabalho necessário no processo de compressão irreversível mencionado.

Passo 1

O enunciado diz que temos um pistão com n=2 mols de água gasosa a T=1000 K, e queremos comprimir isoterma e reversivelmente de V_1=10 L para V_2=1 L.
Conteúdo necessário:
  • Trabalho reversível em transformação isotérmica para gás ideal,
  • Trabalho reversível em transformação isotérmica para gás de van der Waals, usando
P=\frac{R\,T}{v-b}-\frac{a}{v^2},
com
a=\frac{27}{64}\frac{R^2T_c^2}{P_c},\quad b=\frac{1}{8}\frac{R\,T_c}{P_c},
  • Cálculo de trabalho irreversível considerando eficiência de 70%.

Passo 2

Para o modelo de gás ideal, o trabalho reversível feito pelo gás é
W_{\text{by}}=\int_{V_1}^{V_2}P\,dV =\int_{V_1}^{V_2}\frac{nRT}{V}\,dV =nRT\ln\frac{V_2}{V_1}.
Como nos interessa o trabalho necessário para comprimir (trabalho sobre o gás), tomamos o valor positivo
W_{\text{ideal}} =nRT\ln\frac{V_1}{V_2}.
Convertendo V_1=10 L e V_2=1 L para m³ ( 1 L = 10^{-3} m³) e usando R=8{,}314 J/(mol·K), n=2, T=1000 K,
W_{\text{ideal}} =2\times8{,}314\times1000\times\ln\frac{0{,}01}{0{,}001} =2\times8{,}314\times1000\times\ln(10) \approx3{,}83\times10^{4}\text{ J}.

Passo 3

Para van der Waals, escrevemos o trabalho reversível sobre o gás como
W_{\text{vdW}} =\int_{V_1}^{V_2}P\,dV =n\int_{v_1}^{v_2}\biggl(\frac{RT}{v-b}-\frac{a}{v^2}\biggr)dv =nRT\ln\frac{v_1-b}{v_2-b} -\,n\,a\Bigl(\frac{1}{v_2}-\frac{1}{v_1}\Bigr),
onde v_i=V_i/n. Usando os parâmetros críticos da água ( T_c=647{,}3 K, P_c=22{,}06\times10^6 Pa) e R=8{,}314 J/(mol·K), calculamos
b=\frac{1}{8}\frac{R\,T_c}{P_c}\approx3{,}05\times10^{-5}\,\mathrm{m^3/mol}, \quad a=\frac{27}{64}\frac{R^2T_c^2}{P_c}\approx0{,}553\;\mathrm{Pa\;m^6/mol^2}.
Como v_1=0{,}01/2=0{,}005 m³/mol e v_2=0{,}001/2=0{,}0005 m³/mol, obtém-se
W_{\text{vdW}} \approx2\times8{,}314\times1000\times\ln\frac{0{,}005-3{,}05\times10^{-5}}{0{,}0005-3{,}05\times10^{-5}} -2\times0{,}553\Bigl(\frac{1}{0{,}0005}-\frac{1}{0{,}005}\Bigr) \approx4{,}12\times10^{4}\text{ J}.

Passo 4

No caso irreversível com eficiência \eta=70\%, o trabalho que o compressor precisa fornecer é maior que o reversível. Então
W_{\text{irr}} =\frac{W_{\text{vdW}}}{\eta} \approx\frac{4{,}12\times10^{4}}{0{,}70} \approx5{,}89\times10^{4}\text{ J}.

Resposta

a. W_{\text{ideal}}\approx3{,}83\times10^{4} J
b. W_{\text{vdW}}\approx4{,}12\times10^{4} J
c. W_{\text{irr}}\approx5{,}89\times10^{4} J

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