Utilize o método de Newton-Raphson para aproximar a raiz da equação f(x)=0.
  • Realize duas interações, a partir do valor inicial fórnecido.
  • Apresente os resultados com quatro casas decimais.
  • Mostre os cálculos realizados em cada etapa (fórmula aplioada, valores de f\left(x_{n}\right) e f^{\prime}\left(x_{n}\right) ).
    A função f(x)=x^{3}-x-1 possui una raiz real positiva. Utilizando a derivada f^{\prime}(x), aplique o método de Neẃton-Raphison a partir de x_{0}=1 e calcule as aproximações x_{1} e x_{2}. Comente se a raiz paree estar se aproximando rapidamente ou não.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a raiz positiva da função
f(x)=x^{3}-x-1
usando o método de Newton–Raphson com duas iterações a partir de x_{0}=1. O método usa a fórmula
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
onde
f'(x)=3x^{2}-1.

Passo 2

Primeira iteração ( n=0\to1):
Calcular
f(x_{0})=f(1)=1^{3}-1-1=-1,
f'(x_{0})=f'(1)=3\cdot1^{2}-1=2.
Aplicando a fórmula,
x_{1}=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})} =1-\frac{-1}{2} =1+0,5 =1,5000.

Passo 3

Segunda iteração ( n=1\to2):
Calcular
f(x_{1})=f(1,5)= (1,5)^{3} -1,5 -1 =3,375-2,5=0,8750,
f'(x_{1})=f'(1,5)=3\cdot(1,5)^{2}-1=3\cdot2,25-1=6,75-1=5,7500.
Então
x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})} =1,5-\frac{0,8750}{5,7500} =1,5-0,1522 =1,3478.

Passo 4

Observação sobre convergência:
O valor de x_{1}=1,5000 já se aproxima da raiz real (que está perto de 1,3247), e x_{2}=1,3478 reduz o erro de forma significativa. Isso indica que o método está convergindo rapidamente.

Resposta

x_{1}=1,5000
x_{2}=1,3478

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