Utilize o método de Newton-Raphson para aproximar a raiz da equação f(x)=0.
  • Realize duas interações, a partir do valor inicial fórnecido.
  • Apresente os resultados com quatro casas decimais.
  • Mostre os cálculos realizados em cada etapa (fórmula aplioada, valores de f\left(x_{n}\right) e f^{\prime}\left(x_{n}\right) ).
    (Função transcendental comum) Considere a função f(x)=\cos (x)-2 x, que surge em contextos de equilibrio em circuitos oscilatórios. Utilize a derivada f^{\prime}(x), e a aproximação inicial x_{0}=0,5. Calcule x_{1} e x_{2}, e interprete o comportamento da função próximo-à raiz.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a raiz de
f(x)=\cos(x)-2x
usando o método de Newton–Raphson, com ponto inicial x_0=0,5 e duas iterações. O método usa a fórmula
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)},
onde precisamos de
f'(x)=-\sin(x)-2.

Passo 2

Aplicando a primeira iteração a partir de x_0=0,5:
Calculamos
f(x_0)=\cos(0,5)-2\cdot0,5\approx0,8775826-1=-0,1224174,
f'(x_0)=-\sin(0,5)-2\approx-0,4794255-2=-2,4794255.
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x_1 = 0,5 - \frac{-0,1224174}{-2,4794255} =0,5 - 0,0493720 \approx0,4506280.
Arredondando para quatro casas decimais,
x_1\approx0,4506.

Passo 3

Agora a segunda iteração, com x_1\approx0,4506280:
f(x_1)=\cos(0,4506280)-2\cdot0,4506280 \approx0,9003190-0,9012560=-0,0009370,
f'(x_1)=-\sin(0,4506280)-2 \approx-0,4353660-2=-2,4353660.
Então
x_2 = 0,4506280 - \frac{-0,0009370}{-2,4353660} =0,4506280-0,0003848 \approx0,4502432.
Arredondando para quatro casas decimais,
x_2\approx0,4502.

Passo 4

Perto da raiz, observa-se que f'(x)<0, isto é, a função é estritamente decrescente. Como f(x) muda de sinal em torno de x\approx0,4502 e o método de Newton está convergindo rápido (o ajuste de 0,4506 para 0,4502 já é muito pequeno), concluímos que há uma única raiz nessa vizinhança e que o método segue estável.

Resposta

x_1\approx0,4506
x_2\approx0,4502

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