Achar aproximações para a solução dos problemas de PVI abaixo para
.
Passo 1
Enunciado (resumido): queremos aproximar a solução do problema de valor inicial
usando passo
.
Informações dadas:
,
,
.
O que se pede: aproximar os valores de
em pontos discretos espaçados por
(vou calcular até
, ou seja, para
com
).
Passo 2
Escolha do método e por quê (explicação didática, sem assumir conhecimento prévio):
Não foi especificado um método no enunciado, então usamos o método mais básico e introdutório para EDOs — o método de Euler explícito — porque é o primeiro método que se aprende, é simples de aplicar sem calculadora avançada e serve para entender passo a passo como gerar aproximações numéricas.
Não foi especificado um método no enunciado, então usamos o método mais básico e introdutório para EDOs — o método de Euler explícito — porque é o primeiro método que se aprende, é simples de aplicar sem calculadora avançada e serve para entender passo a passo como gerar aproximações numéricas.
Breve aula sobre o método de Euler explícito:
- Seja a EDO
e uma malha temporal . - O método de Euler constrói aproximações
pela fórmula de iteração
- Interpretação: aproximamos a derivada por
e resolvemos para . - Aqui a função do lado direito não depende explicitamente de
, só de . Então defino
- Variáveis:
é a aproximação em ; é o passo (aqui ); é a taxa de variação naquele ponto.
Passo 3
Preparação para iterar:
- Malha:
(ou seja para ). - Inicial:
. - Fórmula que vamos usar repetidamente:
Vou calcular
. Em cada passo vou mostrar como calculei
(primeiro em forma decimal aproximada) e então
.
Passo 4
Cálculo de
para
(detalhado):
-
. - Calcule
. - Aplicando Euler:
Observação:
pode também ser escrito exatamente como
.
Passo 5
Cálculo de
para
(detalhado):
-
. - Calcule
.
Primeiro, então .
Então. - Euler:
Passo 6
Cálculos seguintes (aplico a mesma rotina em cada passo; para não me perder, em cada passo mostro
e
):
-
n=2:
.
.
. -
n=3:
.
.
. -
n=4:
.
.
. -
n=5:
.
.
. -
n=6:
.
.
. -
n=7:
.
.
. -
n=8:
.
.
. -
n=9:
.
.
.
Observações sobre os arredondamentos: em cada passo arredondei os valores de
e de
para cerca de 6–7 dígitos significativos; os resultados apresentados são consistentes com cálculos manuais razoáveis e mostram a tendência do crescimento logístico.
Passo 7
Comentário pedagógico final:
- O método de Euler é simples, mas tem erro de ordem
por passo (erro global proporcional a ). Com o método subestima um pouco a solução exata do problema logístico (a solução exata cresce mais rápido no início). - Para referência rápida, a solução exata da equação logística é
onde
. Assim
o que mostra que a aproximação de Euler com
em
deu
, subestimando em cerca de
unidades. Se você quiser precisão maior na prova, use passo menor
ou um método de ordem superior (Heun, RK4).