Achar aproximações para a solução dos problemas de PVI abaixo para \mathrm{h}=0,1.
\begin{aligned}& \frac{d y}{d t}=2 y\left(\frac{92-y}{92}\right) .\\& (y(0)=10) .\end{aligned}

Passo 1

Enunciado (resumido): queremos aproximar a solução do problema de valor inicial
\frac{d y}{d t}=2\,y\left(\frac{92-y}{92}\right),\qquad y(0)=10,
usando passo \,h=0,1.
Informações dadas:
\;y'(t)=2y\big(1-\dfrac{y}{92}\big), \;y(0)=10, \;h=0,1.
O que se pede: aproximar os valores de y(t) em pontos discretos espaçados por h=0,1 (vou calcular até t=1, ou seja, para t_n=n\cdot 0,1 com n=0,1,\dots,10).

Passo 2

Escolha do método e por quê (explicação didática, sem assumir conhecimento prévio):
Não foi especificado um método no enunciado, então usamos o método mais básico e introdutório para EDOs — o método de Euler explícito — porque é o primeiro método que se aprende, é simples de aplicar sem calculadora avançada e serve para entender passo a passo como gerar aproximações numéricas.
Breve aula sobre o método de Euler explícito:
  • Seja a EDO \;y'(t)=f(t,y(t)) e uma malha temporal \;t_n=t_0+n h.
  • O método de Euler constrói aproximações \;y_n\approx y(t_n) pela fórmula de iteração
y_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n).
  • Interpretação: aproximamos a derivada por \dfrac{y_{n+1}-y_n}{h}\approx f(t_n,y_n) e resolvemos para y_{n+1}.
  • Aqui a função do lado direito não depende explicitamente de t, só de y. Então defino
f(y)=2\,y\Big(1-\frac{y}{92}\Big).
  • Variáveis: y_n é a aproximação em t_n; h é o passo (aqui h=0,1); f(t_n,y_n) é a taxa de variação naquele ponto.

Passo 3

Preparação para iterar:
  • Malha: t_n=0,0,1,0,2,\dots,1,0 (ou seja t_n=n\cdot 0,1 para n=0,\dots,10).
  • Inicial: y_0=10.
  • Fórmula que vamos usar repetidamente:
y_{n+1}=y_n+0,1\;f(y_n),\qquad f(y)=2y\Big(1-\frac{y}{92}\Big).
Vou calcular y_1,y_2,\dots,y_{10}. Em cada passo vou mostrar como calculei f(y_n) (primeiro em forma decimal aproximada) e então y_{n+1}.

Passo 4

Cálculo de n=0 para n=1 (detalhado):
  • y_0=10.
  • Calcule f(y_0)=2\cdot 10\Big(1-\dfrac{10}{92}\Big)=20\cdot\frac{82}{92}= \frac{820}{46} \approx 17,826087.
  • Aplicando Euler:
y_1=y_0+0,1\cdot f(y_0)=10+0,1\cdot 17,826087=10+1,7826087=11,7826087.
Observação: y_1 pode também ser escrito exatamente como \dfrac{271}{23}\approx 11,7826087.

Passo 5

Cálculo de n=1 para n=2 (detalhado):
  • y_1\approx 11,7826087.
  • Calcule f(y_1)=2y_1\Big(1-\dfrac{y_1}{92}\Big).
    Primeiro y_1/92\approx 0,1280720, então 1-y_1/92\approx 0,8719280.
    Então f(y_1)\approx 2\cdot 11,7826087\cdot 0,8719280\approx 20,546432.
  • Euler:
y_2=y_1+0,1\cdot f(y_1)\approx 11,7826087+0,1\cdot 20,546432=11,7826087+2,0546432=13,8372519.

Passo 6

Cálculos seguintes (aplico a mesma rotina em cada passo; para não me perder, em cada passo mostro f(y_n) e y_{n+1}):
  • n=2:
    y_2\approx 13,8372519.
    f(y_2)\approx 2\cdot 13,8372519\big(1-\dfrac{13,8372519}{92}\big)\approx 23,511923.
    y_3=y_2+0,1\cdot f(y_2)\approx 13,8372519+2,3511923=16,1884442.
  • n=3:
    y_3\approx 16,1884442.
    f(y_3)\approx 2\cdot 16,1884442\big(1-\dfrac{16,1884442}{92}\big)\approx 26,680302.
    y_4\approx 16,1884442+2,6680302=18,8564744.
  • n=4:
    y_4\approx 18,8564744.
    f(y_4)\approx 2\cdot 18,8564744\big(1-\dfrac{18,8564744}{92}\big)\approx 29,982249.
    y_5\approx 18,8564744+2,9982249=21,8546993.
  • n=5:
    y_5\approx 21,8546993.
    f(y_5)\approx 2\cdot 21,8546993\big(1-\dfrac{21,8546993}{92}\big)\approx 33,321899.
    y_6\approx 21,8546993+3,3321899=25,1868892.
  • n=6:
    y_6\approx 25,1868892.
    f(y_6)\approx 2\cdot 25,1868892\big(1-\dfrac{25,1868892}{92}\big)\approx 36,572980.
    y_7\approx 25,1868892+3,6572980=28,8441872.
  • n=7:
    y_7\approx 28,8441872.
    f(y_7)\approx 2\cdot 28,8441872\big(1-\dfrac{28,8441872}{92}\big)\approx 39,600968.
    y_8\approx 28,8441872+3,9600968=32,8042840.
  • n=8:
    y_8\approx 32,8042840.
    f(y_8)\approx 2\cdot 32,8042840\big(1-\dfrac{32,8042840}{92}\big)\approx 42,217498.
    y_9\approx 32,8042840+4,2217498=37,0260338.
  • n=9:
    y_9\approx 37,0260338.
    f(y_9)\approx 2\cdot 37,0260338\big(1-\dfrac{37,0260338}{92}\big)\approx 44,247670.
    y_{10}\approx 37,0260338+4,4247670=41,4508008.
Observações sobre os arredondamentos: em cada passo arredondei os valores de f e de y para cerca de 6–7 dígitos significativos; os resultados apresentados são consistentes com cálculos manuais razoáveis e mostram a tendência do crescimento logístico.

Passo 7

Comentário pedagógico final:
  • O método de Euler é simples, mas tem erro de ordem O(h) por passo (erro global proporcional a h). Com h=0,1 o método subestima um pouco a solução exata do problema logístico (a solução exata cresce mais rápido no início).
  • Para referência rápida, a solução exata da equação logística é
y(t)=\frac{92}{1+C\,e^{-2t}},
onde C=\dfrac{92-y(0)}{y(0)}=\dfrac{82}{10}=8,2. Assim
y(1)=\frac{92}{1+8,2\,e^{-2}}\approx 43,611\quad(\text{valor exato aproximado}),
o que mostra que a aproximação de Euler com h=0,1 em t=1 deu y_{10}\approx 41,451, subestimando em cerca de 2,16 unidades. Se você quiser precisão maior na prova, use passo menor h ou um método de ordem superior (Heun, RK4).

Resposta

t_0=0,\;y_0=10,000000
t_1=0,1,\;y_1\approx 11,782609
t_2=0,2,\;y_2\approx 13,837252
t_3=0,3,\;y_3\approx 16,188444
t_4=0,4,\;y_4\approx 18,856474
t_5=0,5,\;y_5\approx 21,854699
t_6=0,6,\;y_6\approx 25,186889
t_7=0,7,\;y_7\approx 28,844187
t_8=0,8,\;y_8\approx 32,804284
t_9=0,9,\;y_9\approx 37,026034
t_{10}=1,0,\;y_{10}\approx 41,450801

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