Achar os inteiros
e
que verifiquem a seguinte igualdade
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todos os inteiros
e
que satisfazem a igualdade
Informações dadas: os coeficientes são
(de
),
(de
) e o termo independente é
. Os incógnitos
e
devem ser números inteiros.
(Depois disso começamos a resolver passo a passo.)
(Depois disso começamos a resolver passo a passo.)
Passo 2
Vamos ver primeiro se a equação tem solução inteira. Para isso precisamos do máximo divisor comum (mdc) entre os coeficientes
e
. Usamos o algoritmo de Euclides (vou mostrar cada divisão e resto):
O último resto não nulo é
, logo
. Explicando rápido: o algoritmo de Euclides usa divisões sucessivas para reduzir o par até restar o último divisor comum.
Passo 3
Condição de existência: uma equação linear diofantina
tem solução inteira somente se
divide
. Aqui
e
divide
(porque
), então existem soluções inteiras. Não deu erro — estamos bem.
Passo 4
Podemos simplificar a equação dividindo tudo pelo gcd
. Isso deixa coeficientes coprimos, o que facilita:
Trabalharemos com essa forma equivalente.
Passo 5
Agora precisamos de uma solução particular da equação
. Para isso primeiro encontramos inteiros
tais que
(algoritmo de Euclides estendido). Vamos fazer a volta do procedimento do Passo 2 por substituições (back-substitution):
Da sequência da divisão entre
e
(que aparece dentro dos passos do algoritmo entre
e
), temos as igualdades (podemos trabalhar diretamente entre
e
):
Agora voltamos substituindo para escrever
como combinação linear de
e
.
Começamos:
Mas
, então
E
, então
E
, então
Finalmente
, então
Portanto encontramos
e
, pois
Passo 6
Multiplicamos essa identidade por
(porque queremos o lado direito igual a
), obtendo uma solução particular para
:
ou seja uma solução particular é
Verificação rápida:
. Como trabalhamos com a equação dividida por
, esses mesmos
servem para a equação original
.
Passo 7
Agora obtemos a solução geral. Regra: se
e
têm
e
é uma solução de
, então todas as soluções inteiras são dadas por
com
. Aqui
,
,
, então
e
. Usando a solução particular que achamos, podemos simplificar a expressão escolhendo um valor de
que torne os números menores.
Se partirmos de
e tomarmos
, obtemos
Então
é uma solução mais simples e é conveniente usá-la como base. Usando
na fórmula geral obtemos:
Verificação rápida: substituindo na equação original,
logo funciona para qualquer
.
Passo 8
Resumo / exemplos concretos para fixar: tomando
temos
. Tomando
temos
. Tomando
temos
. Todos esses verificam
.