Achar os inteiros x e y que verifiquem a seguinte igualdade
42 x+26 y=16

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todos os inteiros x e y que satisfazem a igualdade
42x + 26y = 16.
Informações dadas: os coeficientes são 42 (de x), 26 (de y) e o termo independente é 16. Os incógnitos x e y devem ser números inteiros.
(Depois disso começamos a resolver passo a passo.)

Passo 2

Vamos ver primeiro se a equação tem solução inteira. Para isso precisamos do máximo divisor comum (mdc) entre os coeficientes 42 e 26. Usamos o algoritmo de Euclides (vou mostrar cada divisão e resto):
42 = 26\cdot1 + 16,
26 = 16\cdot1 + 10,
16 = 10\cdot1 + 6,
10 = 6\cdot1 + 4,
6 = 4\cdot1 + 2,
4 = 2\cdot2 + 0.
O último resto não nulo é 2, logo \gcd(42,26)=2. Explicando rápido: o algoritmo de Euclides usa divisões sucessivas para reduzir o par até restar o último divisor comum.

Passo 3

Condição de existência: uma equação linear diofantina ax+by=c tem solução inteira somente se \gcd(a,b) divide c. Aqui \gcd(42,26)=2 e 2 divide 16 (porque 16=2\cdot8), então existem soluções inteiras. Não deu erro — estamos bem.

Passo 4

Podemos simplificar a equação dividindo tudo pelo gcd 2. Isso deixa coeficientes coprimos, o que facilita:
\frac{42}{2}x + \frac{26}{2}y = \frac{16}{2} \quad\Longrightarrow\quad 21x + 13y = 8.
Trabalharemos com essa forma equivalente.

Passo 5

Agora precisamos de uma solução particular da equação 21x+13y=8. Para isso primeiro encontramos inteiros u,v tais que 21u+13v=1 (algoritmo de Euclides estendido). Vamos fazer a volta do procedimento do Passo 2 por substituições (back-substitution):
Da sequência da divisão entre 21 e 13 (que aparece dentro dos passos do algoritmo entre 42 e 26), temos as igualdades (podemos trabalhar diretamente entre 21 e 13):
21 = 13\cdot1 + 8,
13 = 8\cdot1 + 5,
8 = 5\cdot1 + 3,
5 = 3\cdot1 + 2,
3 = 2\cdot1 + 1.
Agora voltamos substituindo para escrever 1 como combinação linear de 21 e 13.
Começamos:
1 = 3 - 2\cdot1.
Mas 2 = 5 - 3\cdot1, então
1 = 3 - (5 - 3) = 2\cdot3 - 5.
E 3 = 8 - 5, então
1 = 2(8-5) - 5 = 2\cdot8 - 3\cdot5.
E 5 = 13 - 8, então
1 = 2\cdot8 - 3(13-8) = 5\cdot8 - 3\cdot13.
Finalmente 8 = 21 - 13, então
1 = 5(21-13) - 3\cdot13 = 5\cdot21 - 8\cdot13.
Portanto encontramos u=5 e v=-8, pois
21\cdot5 + 13\cdot(-8) = 1.

Passo 6

Multiplicamos essa identidade por 8 (porque queremos o lado direito igual a 8), obtendo uma solução particular para 21x+13y=8:
21\cdot(5\cdot8) + 13\cdot(-8\cdot8) = 8,
ou seja uma solução particular é
x_0 = 5\cdot8 = 40,\qquad y_0 = -8\cdot8 = -64.
Verificação rápida: 21\cdot40 + 13\cdot(-64) = 840 - 832 = 8. Como trabalhamos com a equação dividida por 2, esses mesmos x_0,y_0 servem para a equação original 42x+26y=16.

Passo 7

Agora obtemos a solução geral. Regra: se a e b têm \gcd=g e (x_0,y_0) é uma solução de ax+by=c, então todas as soluções inteiras são dadas por
x = x_0 + \frac{b}{g}t,\qquad y = y_0 - \frac{a}{g}t,
com t\in\mathbb{Z}. Aqui a=42, b=26, g=2, então \frac{b}{g}=13 e \frac{a}{g}=21. Usando a solução particular que achamos, podemos simplificar a expressão escolhendo um valor de t que torne os números menores.
Se partirmos de (x_0,y_0)=(40,-64) e tomarmos t=-3, obtemos
x = 40 + 13\cdot(-3) = 40 - 39 = 1,
y = -64 - 21\cdot(-3) = -64 + 63 = -1.
Então (1,-1) é uma solução mais simples e é conveniente usá-la como base. Usando (1,-1) na fórmula geral obtemos:
x = 1 + 13t,\qquad y = -1 - 21t,\qquad t\in\mathbb{Z}.
Verificação rápida: substituindo na equação original,
42(1+13t) + 26(-1-21t) = 42 + 546t - 26 - 546t = 16,
logo funciona para qualquer t\in\mathbb{Z}.

Passo 8

Resumo / exemplos concretos para fixar: tomando t=0 temos (x,y)=(1,-1). Tomando t=1 temos (x,y)=(14,-22). Tomando t=-1 temos (x,y)=(-12,20). Todos esses verificam 42x+26y=16.

Resposta

x = 1 + 13t,\\ y = -1 - 21t,\\ t\in\mathbb{Z}

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