Achar os inteiros x e y que verifiquem a seguinte igualdade
\quad 78 x+32 y=2

Passo 1

O enunciado pede: achar todos os inteiros x e y que verificam a igualdade
78x + 32y = 2.
Informações dadas que vamos usar: os coeficientes são 78 e 32 e o termo independente é 2. Queremos todos os pares inteiros (x,y) que satisfazem essa equação linear.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): uma equação linear diofantina do tipo
ax + by = c
tem solução em inteiros se, e somente se, o máximo divisor comum de a e b, denotado \gcd(a,b), divide c. Ou seja, condição necessária e suficiente: \gcd(a,b)\mid c. Vou calcular \gcd(78,32) e verificar se divide 2.

Passo 3

Cálculo de \gcd(78,32) pelo algoritmo de Euclides (vou mostrar cada subtração/divisão):
78 = 32\cdot 2 + 14
32 = 14\cdot 2 + 4
14 = 4\cdot 3 + 2
4 = 2\cdot 2 + 0
Como o resto não nulo final é 2, temos
\gcd(78,32) = 2.
Como \gcd(78,32)=2 e o lado direito da equação é 2, temos 2\mid 2. Portanto a condição de existência de soluções inteiras é satisfeita.

Passo 4

Agora precisamos de uma solução particular. Para isso vamos escrever 2 como combinação linear de 78 e 32 (algoritmo extendido de Euclides). Partimos das igualdades dos restos e voltamos substituindo para expressar 2.
Das divisões acima:
14 = 78 - 32\cdot 2
4 = 32 - 14\cdot 2
2 = 14 - 4\cdot 3
Substituímos 4 em 2 = 14 - 4\cdot 3:
2 = 14 - 3(32 - 14\cdot 2) = 14 - 3\cdot 32 + 6\cdot 14 = 7\cdot 14 - 3\cdot 32.
Agora substituímos 14 = 78 - 32\cdot 2:
2 = 7(78 - 32\cdot 2) - 3\cdot 32 = 7\cdot 78 -14\cdot 32 -3\cdot 32 = 7\cdot 78 -17\cdot 32.
Logo encontramos a combinação
2 = 78\cdot 7 + 32\cdot(-17).
Isto nos dá uma solução particular (x_0,y_0) = (7,-17), porque substituindo obtemos 78\cdot 7 + 32\cdot(-17)=2.

Passo 5

Verificação rápida da solução particular: calcular mentalmente ou à vista:
78\cdot 7 = 546,\quad 32\cdot(-17) = -544,\quad 546-544=2.
Confere, então (7,-17) é uma solução inteira válida.

Passo 6

Forma geral das soluções (explicação didática): se (x_0,y_0) é uma solução particular de
ax + by = c
e d=\gcd(a,b), então todas as soluções inteiras são dadas por
x = x_0 + \frac{b}{d}t,\qquad y = y_0 - \frac{a}{d}t,
onde t é um inteiro arbitrário. Motivo curto: qualquer diferença entre duas soluções (x,y) e (x_0,y_0) satisfaz a(x-x_0)+b(y-y_0)=0, ou seja a\Delta x = -b\Delta y, daí \Delta x deve ser múltiplo de b/d etc.
No nosso caso temos a=78, b=32, d=2. Então
\frac{b}{d} = \frac{32}{2}=16,\qquad \frac{a}{d} = \frac{78}{2}=39.
Usando a solução particular (x_0,y_0)=(7,-17), a solução geral é
x = 7 + 16t,\qquad y = -17 - 39t,
onde t\in\mathbb{Z}.

Passo 7

Exemplos concretos para intuir: para t=0 recuperamos (x,y)=(7,-17). Para t=1 obtemos (x,y)=(23,-56); checando:
78\cdot 23 + 32\cdot(-56) = 1794 - 1792 = 2,
confere. Para t=-1 obtemos (x,y)=(-9,22) e também confere:
78\cdot(-9) + 32\cdot 22 = -702 + 704 = 2.
Portanto a fórmula gera de fato todas as soluções inteiras.

Resposta

x = 7 + 16t,\qquad y = -17 - 39t,\qquad t\in\mathbb{Z}

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