Achar os inteiros
e
que verifiquem a seguinte igualdade
\quad 78 x+32 y=2
\quad 78 x+32 y=2
Passo 1
O enunciado pede: achar todos os inteiros
e
que verificam a igualdade
Informações dadas que vamos usar: os coeficientes são
e
e o termo independente é
. Queremos todos os pares inteiros
que satisfazem essa equação linear.
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): uma equação linear diofantina do tipo
tem solução em inteiros se, e somente se, o máximo divisor comum de
e
, denotado
, divide
. Ou seja, condição necessária e suficiente:
. Vou calcular
e verificar se divide
.
Passo 3
Cálculo de
pelo algoritmo de Euclides (vou mostrar cada subtração/divisão):
Como o resto não nulo final é
, temos
Como
e o lado direito da equação é
, temos
. Portanto a condição de existência de soluções inteiras é satisfeita.
Passo 4
Agora precisamos de uma solução particular. Para isso vamos escrever
como combinação linear de
e
(algoritmo extendido de Euclides). Partimos das igualdades dos restos e voltamos substituindo para expressar
.
Das divisões acima:
Substituímos
em
:
Agora substituímos
:
Logo encontramos a combinação
Isto nos dá uma solução particular
, porque substituindo obtemos
.
Passo 5
Verificação rápida da solução particular: calcular mentalmente ou à vista:
Confere, então
é uma solução inteira válida.
Passo 6
Forma geral das soluções (explicação didática): se
é uma solução particular de
e
, então todas as soluções inteiras são dadas por
onde
é um inteiro arbitrário. Motivo curto: qualquer diferença entre duas soluções
e
satisfaz
, ou seja
, daí
deve ser múltiplo de
etc.
No nosso caso temos
,
,
. Então
Usando a solução particular
, a solução geral é
onde
.
Passo 7
Exemplos concretos para intuir: para
recuperamos
. Para
obtemos
; checando:
confere. Para
obtemos
e também confere:
Portanto a fórmula gera de fato todas as soluções inteiras.