Achar os limites:
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Está dado o termo dependente de
- O que pede é o limite quando
desse somatório:
Passo 2
Fórmula útil: soma dos primeiros
inteiros. Vou provar de um jeito bem direto (útil na prova).
Considere
Considere
Escrevendo ao contrário:
Somando termo a termo as duas expressões obtém-se
com
parcelas, logo
Esta é a fórmula que vamos usar. No nosso somatório temos
.
Passo 3
Aplicar a fórmula ao somatório dado:
Pela fórmula do passo anterior com
,
Portanto
Passo 4
Simplificar a expressão encontrada:
Podemos escrever esta fração como
Isto fica claro dividindo numerador e denominador por
ou separando a fração.
Passo 5
Calcular o limite usando propriedades básicas dos limites. Como
, segue
Passo 6
Método alternativo (boa dica para prova): interpretar como soma de Riemann.
Observe que
Observe que
que é exatamente uma soma de Riemann para a função
no intervalo
(uso os pontos
e
). Pelo fato de as somas de Riemann convergirem para a integral quando
,
Ambos os métodos chegam ao mesmo resultado; na prova escolha o que for mais rápido (a fórmula da soma é o atalho mais direto aqui).