Achar os limites:
lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}}+\frac{3}{n^{2}}+\ldots+\frac{n-1}{n^{2}}\right).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Está dado o termo dependente de n
\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{n^{2}}=\frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}}+\frac{3}{n^{2}}+\ldots+\frac{n-1}{n^{2}}.
  • O que pede é o limite quando n \to \infty desse somatório:
\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{n^{2}}.

Passo 2

Fórmula útil: soma dos primeiros m inteiros. Vou provar de um jeito bem direto (útil na prova).
Considere
S=\sum_{k=1}^{m}k=1+2+\dots+m.
Escrevendo ao contrário:
S=m+(m-1)+\dots+1.
Somando termo a termo as duas expressões obtém-se 2S=(m+1)+(m+1)+\dots+(m+1) com m parcelas, logo
2S=m(m+1)\quad\Rightarrow\quad S=\frac{m(m+1)}{2}.
Esta é a fórmula que vamos usar. No nosso somatório temos m=n-1.

Passo 3

Aplicar a fórmula ao somatório dado:
\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{n^{2}}=\frac{1}{n^{2}}\sum_{k=1}^{n-1}k.
Pela fórmula do passo anterior com m=n-1,
\sum_{k=1}^{n-1}k=\frac{(n-1)n}{2}.
Portanto
\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{n^{2}}=\frac{1}{n^{2}}\cdot\frac{(n-1)n}{2}=\frac{n(n-1)}{2n^{2}}.

Passo 4

Simplificar a expressão encontrada:
\frac{n(n-1)}{2n^{2}}=\frac{n-1}{2n}.
Podemos escrever esta fração como
\frac{n-1}{2n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}.
Isto fica claro dividindo numerador e denominador por n ou separando a fração.

Passo 5

Calcular o limite usando propriedades básicas dos limites. Como \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0, segue
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot 0=\frac{1}{2}.

Passo 6

Método alternativo (boa dica para prova): interpretar como soma de Riemann.
Observe que
\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{n^{2}}=\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{k}{n}\right)\left(\frac{1}{n}\right),
que é exatamente uma soma de Riemann para a função f(x)=x no intervalo [0,1] (uso os pontos x_k=\tfrac{k}{n} e \Delta x=\tfrac{1}{n}). Pelo fato de as somas de Riemann convergirem para a integral quando n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{n^{2}}=\int_{0}^{1}x\,dx=\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{2}.
Ambos os métodos chegam ao mesmo resultado; na prova escolha o que for mais rápido (a fórmula da soma é o atalho mais direto aqui).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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