Questão 05: Sejam
tais que
. Prove que
.
Passo 1
O enunciado dá que
e que
Ou seja, nos foi dado que
A pergunta é: provar que
. Vou listar as informações importantes:
- Dados:
são inteiros e satisfazem . - Pedido: mostrar que necessariamente
.
Passo 2
Uma ideia natural é subtrair os dois lados para trabalhar com diferença de cubos. Fazendo isso obtemos
Existe uma identidade algébrica clássica para a diferença de cubos que é útil aqui. Vou apresentá‑la e justificar por expansão.
Passo 3
A identidade da diferença de cubos é
Para ver que isso é verdade, basta expandir o produto da direita:
Como
, pela identidade temos
Passo 4
Agora usamos uma propriedade básica dos inteiros: se o produto de dois inteiros é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Assim temos duas possibilidades:
-
; ou -
.
Se a primeira opção ocorre, então diretamente
e terminamos.
Passo 5
Falta tratar a segunda possibilidade e mostrar que ela também leva a
. Vou mostrar que a equação
só pode acontecer quando
, ou seja, também dá
.
Complete o quadrado em
para ver que o lado esquerdo é soma de termos não negativos:
Aqui
e
para quaisquer números reais (e, em particular, inteiros). A soma de dois números não negativos só é zero se os dois forem zero simultaneamente. Portanto devemos ter
Da segunda igualdade vem
, logo
. Substituindo em
obtemos
, logo
. Assim a única possibilidade na segunda opção é
, que também satisfaz
.
Passo 6
Concluímos: das duas possibilidades decorrentes de
sempre resulta
. Portanto, se
com
, então
.