Questão 05: Sejam a, b \in \mathbb{Z} tais que (a \cdot a) \cdot a=(b \cdot b) \cdot b. Prove que a=b.

Passo 1

O enunciado dá que a,b\in\mathbb{Z} e que
(a\cdot a)\cdot a=(b\cdot b)\cdot b.
Ou seja, nos foi dado que
a^3=b^3.
A pergunta é: provar que a=b. Vou listar as informações importantes:
  • Dados: a,b são inteiros e satisfazem a^3=b^3.
  • Pedido: mostrar que necessariamente a=b.

Passo 2

Uma ideia natural é subtrair os dois lados para trabalhar com diferença de cubos. Fazendo isso obtemos
a^3-b^3=0.
Existe uma identidade algébrica clássica para a diferença de cubos que é útil aqui. Vou apresentá‑la e justificar por expansão.

Passo 3

A identidade da diferença de cubos é
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).
Para ver que isso é verdade, basta expandir o produto da direita:
(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3+a^2b+ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3 = a^3-b^3.
Como a^3-b^3=0, pela identidade temos
(a-b)(a^2+ab+b^2)=0.

Passo 4

Agora usamos uma propriedade básica dos inteiros: se o produto de dois inteiros é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Assim temos duas possibilidades:
  1. a-b=0; ou
  2. a^2+ab+b^2=0.
Se a primeira opção ocorre, então diretamente a=b e terminamos.

Passo 5

Falta tratar a segunda possibilidade e mostrar que ela também leva a a=b. Vou mostrar que a equação
a^2+ab+b^2=0
só pode acontecer quando a=b=0, ou seja, também dá a=b.
Complete o quadrado em a para ver que o lado esquerdo é soma de termos não negativos:
a^2+ab+b^2=\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}.
Aqui \left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2\ge 0 e \dfrac{3b^2}{4}\ge 0 para quaisquer números reais (e, em particular, inteiros). A soma de dois números não negativos só é zero se os dois forem zero simultaneamente. Portanto devemos ter
\left(a+\frac{b}{2}\right)^2=0\quad\text{e}\quad\frac{3b^2}{4}=0.
Da segunda igualdade vem b^2=0, logo b=0. Substituindo em \left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2=0 obtemos a^2=0, logo a=0. Assim a única possibilidade na segunda opção é a=b=0, que também satisfaz a=b.

Passo 6

Concluímos: das duas possibilidades decorrentes de (a-b)(a^2+ab+b^2)=0 sempre resulta a=b. Portanto, se a^3=b^3 com a,b\in\mathbb{Z}, então a=b.

Resposta

a=b

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