Achar numèricamente a integral \int_{0}^{4} x^{2} d x aplicando
a) a regra dos trapézios
Obter em cada caso o êrro relativo absoluto.
Adotar n=10
SUGESTÃO
e_{\text {relativo }}=\frac{[\text { valor exato - valor obtido }] 100 %}{\text { valor exato }}

Passo 1

O enunciado pede para aproximar numericamente
\int_{0}^{4} x^{2}\,dx
usando a regra dos trapézios com n=10 e calcular o erro relativo absoluto, definido como
e_{\text{relativo}} = \frac{\bigl\lvert \text{valor exato} - \text{valor obtido}\bigr\rvert} {\text{valor exato}}\times100\%.

Passo 2

Calcular o valor exato da integral:
\int_{0}^{4} x^{2}\,dx = \biggl[\frac{x^{3}}{3}\biggr]_{0}^{4} = \frac{4^{3}}{3} = \frac{64}{3} \approx 21,3333.

Passo 3

Na regra dos trapézios com n=10 o passo é
h=\frac{4-0}{10}=0,4
e os nós são x_i=0+i\,h para i=0,1,\dots,10.

Passo 4

Avaliar f(x)=x^{2} em cada nó. Temos
f(x_{0})=0^{2}=0,\quad f(x_{10})=4^{2}=16
e a soma dos valores interiores é
\sum_{i=1}^{9}f(x_i) =0,16+0,64+1,44+2,56+4+5,76+7,84+10,24+12,96 =45,6.

Passo 5

Aplicar a fórmula da regra dos trapézios:
I_{\text{trap}} = h\Bigl(\frac{f(x_{0})+f(x_{10})}{2}+\sum_{i=1}^{9}f(x_i)\Bigr) =0,4\Bigl(\frac{0+16}{2}+45,6\Bigr) =0,4\times53,6 =21,44.

Passo 6

Calcular o erro relativo:
e_{\text{relativo}} = \frac{\bigl\lvert \tfrac{64}{3}-21,44\bigr\rvert} {\tfrac{64}{3}}\times100\% = \frac{0,1066667}{21,3333}\times100\% \approx0,5\%.

Resposta

O valor aproximado pela regra dos trapézios é 21,44 e o erro relativo absoluto é aproximadamente 0,5\%.

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