Dada a seguinte tabela para o vapor
v 2 4 6 8 10
p 68,7 31,3 19,8 14,3 11,3
  • onde v é o volume e p é a pressão, encontrar o trabalho execu tado pelo êmbolo aplicando
    a) a regra dos trapézios
    b) a regra de Simpson
    c) integração direta sabendo \mathrm{pv}^{1,12}=148

Passo 1

O enunciado nos dá uma tabela de pressão p em função do volume v para vapor, com pontos em v=2,4,6,8,10. Queremos calcular o trabalho
W=\int_{2}^{10}p\,dv
pelos métodos numéricos (trapézios e Simpson) e também avaliando diretamente a integral sabendo que
p\,v^{1,12}=148\;\Longrightarrow\;p=148\,v^{-1,12}.

Passo 2

Pelo método dos trapézios, com n=4 subintervalos de largura
h=\frac{10-2}{4}=2,
temos
W_{\rm trap}\approx\frac{h}{2}\bigl[p_0+2p_1+2p_2+2p_3+p_4\bigr] =\frac{2}{2}\bigl[68,7+2(31,3+19,8+14,3)+11,3\bigr].
Calculando o somatório interno:
31,3+19,8+14,3=65,4,\quad 2\cdot65,4=130,8,
logo
W_{\rm trap}=1\bigl[68,7+130,8+11,3\bigr]=210,8.

Passo 3

Pela regra de Simpson, usando o mesmo h=2 e n=4 (par),
W_{\rm Simp}\approx\frac{h}{3}\bigl[p_0+4p_1+2p_2+4p_3+p_4\bigr] =\frac{2}{3}\bigl[68,7+4\cdot31,3+2\cdot19,8+4\cdot14,3+11,3\bigr].
Calculando os termos:
4\cdot31,3=125,2,\quad 2\cdot19,8=39,6,\quad 4\cdot14,3=57,2,
\text{soma interna}=68,7+125,2+39,6+57,2+11,3=302,\quad W_{\rm Simp}=\frac{2}{3}\cdot302=201,3.

Passo 4

Para a integração direta, escrevemos
W=\int_{2}^{10}148\,v^{-1,12}dv =148\int_{2}^{10}v^{-1,12}dv =148\left[\frac{v^{-0,12}}{-0,12}\right]_{2}^{10}.
Como
\frac{148}{-0,12}=-1233{,}33,\quad 10^{-0,12}\approx0{,}7587,\quad 2^{-0,12}\approx0{,}9202,
vem
W=-1233{,}33\bigl(0{,}7587-0{,}9202\bigr) =1233{,}33\,(0{,}1615)\approx199,7.

Resposta

(a) W_{\rm trap}\approx210,8
(b) W_{\rm Simp}\approx201,3
(c) W_{\rm exato}\approx199,7

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