Achar o ponto de inflexão da função f(x)=2 e^{x}+x^{3}-1.

Passo 1

O enunciado quer o ponto de inflexão de
f(x)=2e^{x}+x^{3}-1.
Isso é um problema de concavidade: ponto de inflexão ocorre onde a segunda derivada muda de sinal. Vamos precisar calcular f', f'' e resolver f''(x)=0.

Passo 2

Calculemos as derivadas de f:
f'(x)=2e^{x}+3x^{2},
f''(x)=2e^{x}+6x.
O ponto de inflexão satisfaz
f''(x)=0\quad\Longrightarrow\quad 2e^{x}+6x=0.

Passo 3

Resolvendo
2e^{x}+6x=0 \quad\Longleftrightarrow\quad e^{x}+3x=0,
faça e^{x}=-3x. Multiplique por e^{-x}:
x\,e^{-x}=-\tfrac13.
Isso pode ser escrito como
(-x)e^{-x}=\tfrac13 \quad\Longrightarrow\quad -x=W\!\bigl(\tfrac13\bigr) \quad\Longrightarrow\quad x=-W\!\bigl(\tfrac13\bigr),
onde W é a função de Lambert.

Passo 4

Aproximando numericamente
W\!\bigl(\tfrac13\bigr)\approx0{,}2593 \quad\Longrightarrow\quad x_{\rm infl}=-0{,}2593.
O valor de f nesse x é
f(-0{,}2593) =2e^{-0{,}2593}+(-0{,}2593)^{3}-1 \approx0{,}5260.

Passo 5

Para garantir que é inflexão, note que
f'''(x)=2e^{x}+6>0
para todo x, logo f'' passa de negativo para positivo em x=-0{,}2593. Há mudança de concavidade, confirmando o ponto de inflexão.

Resposta

O ponto de inflexão é
\bigl(-W(\tfrac13),\,f(-W(\tfrac13))\bigr) \approx(-0{,}2593,\;0{,}5260).

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