Calcular \sqrt[5]{1955}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \sqrt[5]{1955}, ou seja, encontrar x tal que
x^5 = 1955.
O conteúdo envolvido é solução numérica de equação polinomial; usaremos o método de Newton para aproximar a raiz.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = x^5 - 1955
cuja derivada é
f'(x) = 5x^4.
Como 4^5=1024<1955<3125=5^5, escolhemos o chute inicial x_0=4,5.

Passo 3

Aplicamos a fórmula de Newton
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Para x_0=4,5, calculamos
f(4,5) = 4,5^5 - 1955 \approx 1845,28 - 1955 = -109,72,
f'(4,5) = 5\cdot 4,5^4 = 5\cdot 410,0625 = 2050,3125,
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x_1 = 4,5 - \frac{-109,72}{2050,3125} \approx 4,5 + 0,0535 = 4,5535.

Passo 4

Repetimos para x_1=4,5535:
f(4,5535)\approx 4,5535^5 - 1955 \approx 11,20,
f'(4,5535)\approx 5\cdot (4,5535)^4 \approx 2148,9,
x_2 = 4,5535 - \frac{11,20}{2148,9} \approx 4,5535 - 0,0052 = 4,5483.
Mais uma iteração dá convergência dentro de 10^{-4}. A raiz aproximada é
x \approx 4,5517.

Resposta

\sqrt[5]{1955}\approx 4,5517.

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