Resolver pelo método de Gauss o seguinte sistema:
\left\{\begin{array}{l}2 x_{1}+3 x_{2}+4 x_{3}+5 x_{4}=14 \\\\ 4 x_{1}+6 x_{2}+x_{3}+x_{4}=12 \\\\ 2 x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=5 \\\\ 4 x_{1}-2 x_{2}-2 x_{3}+x_{4}=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método de Gauss, o sistema linear
\begin{cases} 2x_{1}+3x_{2}+4x_{3}+5x_{4}=14,\\\\ 4x_{1}+6x_{2}+x_{3}+x_{4}=12,\\\\ 2x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=5,\\\\ 4x_{1}-2x_{2}-2x_{3}+x_{4}=1. \end{cases}
O conteúdo é eliminação de Gauss, e vamos montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares para triangularizar.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada inicial:
A^{(0)}=\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 3 & 4 & 5 & 14\\\\ 4 & 6 & 1 & 1 & 12\\\\ 2 & 1 & 1 & 1 & 5\\\\ 4 & -2 & -2 & 1 & 1 \end{array}\right].
Nosso pivô inicial é a_{11}=2.

Passo 3

Zeramos a coluna 1 abaixo do pivô usando R_{2}\to R_{2}-2R_{1}, R_{3}\to R_{3}-R_{1} e R_{4}\to R_{4}-2R_{1}. Isso dá
A^{(1)}=\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 3 & 4 & 5 & 14\\\\ 0 & 0 & -7 & -9 & -16\\\\ 0 & -2 & -3 & -4 & -9\\\\ 0 & -8 & -10 & -9 & -27 \end{array}\right].
Em seguida, trocamos R_{2} com R_{3} para ter pivô não nulo na segunda linha:
A^{(1') }=\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 3 & 4 & 5 & 14\\\\ 0 & -2 & -3 & -4 & -9\\\\ 0 & 0 & -7 & -9 & -16\\\\ 0 & -8 & -10 & -9 & -27 \end{array}\right].

Passo 4

Agora o pivô é a_{22}=-2. Zeramos abaixo em R_{4} com
R_{4}\;\to\;R_{4}-\frac{-8}{-2}\,R_{2}=R_{4}-4R_{2},
resultando em
A^{(2)}=\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 3 & 4 & 5 & 14\\\\ 0 & -2 & -3 & -4 & -9\\\\ 0 & 0 & -7 & -9 & -16\\\\ 0 & 0 & 2 & 7 & 9 \end{array}\right].

Passo 5

O próximo pivô é a_{33}=-7. Zeramos abaixo em R_{4} com
R_{4}\;\to\;R_{4}-\frac{2}{-7}\,R_{3}=R_{4}+\frac{2}{7}R_{3},
ficando
A^{(3)}=\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 3 & 4 & 5 & 14\\\\ 0 & -2 & -3 & -4 & -9\\\\ 0 & 0 & -7 & -9 & -16\\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac{31}{7} & \tfrac{31}{7} \end{array}\right].
Na última linha temos \tfrac{31}{7}\,x_{4}=\tfrac{31}{7}, logo x_{4}=1.

Passo 6

Fazemos substituição regressiva:
  1. Da linha 4: x_{4}=1.
  2. Da linha 3: -7x_{3}-9x_{4}=-16\ \implies\\\ -7x_{3}-9=-16\ \implies\\ x_{3}=1.
  3. Da linha 2: -2x_{2}-3x_{3}-4x_{4}=-9\ \implies\\\ -2x_{2}-3-4=-9\ \implies\\ x_{2}=1.
  4. Da linha 1: 2x_{1}+3x_{2}+4x_{3}+5x_{4}=14\ \implies\\\ 2x_{1}+3+4+5=14\ \implies\\ x_{1}=1.

Resposta

\displaystyle x_{1}=1,\quad x_{2}=1,\quad x_{3}=1,\quad x_{4}=1.

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