Exercício 2.5. Seja
um inteiro. Mostre que
não é um inteiro. (Sugestão: você pode usar o postulado de Bertrand - que é na verdade um teorema, e garante que, para cada natural
, há pelo menos um primo entre
e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para inteiro
,
não é um número inteiro. Vamos usar o Teorema (postulado) de Bertrand, que garante a existência de um primo
tal que
A ideia geral é escrever
como uma fração com denominador
e depois usar propriedades de divisibilidade por
.
Passo 2
Definimos
Então
Como
, temos
para todo
, mas
divide
. Logo, para cada
em
, o quociente
é múltiplo de
. Portanto
Passo 3
Agora analisamos o expoente de
em
. Como
, segue que
, então
aparece exatamente uma vez na fatoração de
. Em símbolos,
ou seja,
e
.
Passo 4
Tanto
quanto
são múltiplos de
, mas
tem fator
apenas uma vez. Se cancelarmos esse fator comum, obtemos
onde
. Como
é, para
, pelo menos
e
, temos
Portanto depois de simplificar não chegamos a um denominador
, isto é,
não pode ser inteiro.
Resposta
Para todo inteiro
, a soma
não é um número inteiro.