Exercício 2.5. Seja n \geq 2 um inteiro. Mostre que 1 / 1+1 / 2+\cdots+1 / n não é um inteiro. (Sugestão: você pode usar o postulado de Bertrand - que é na verdade um teorema, e garante que, para cada natural n, há pelo menos um primo entre n e 2 n. { }^{2}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para inteiro n\ge2,
H_{n} \;=\;\frac1{1}+\frac1{2}+\cdots+\frac1{n}
não é um número inteiro. Vamos usar o Teorema (postulado) de Bertrand, que garante a existência de um primo p tal que
n < p < 2n.
A ideia geral é escrever H_{n} como uma fração com denominador n! e depois usar propriedades de divisibilidade por p.

Passo 2

Definimos
B = n! \quad\text{e}\quad A = \sum_{k=1}^{n}\frac{n!}{k}.
Então
H_{n} \;=\;\frac{A}{B}.
Como n<p, temos \gcd(p,k)=1 para todo 1\le k\le n, mas p divide n!. Logo, para cada k em \{1,2,\dots,n\}, o quociente \frac{n!}{k} é múltiplo de p. Portanto p \mid A.

Passo 3

Agora analisamos o expoente de p em B=n!. Como p>n, segue que p^2>n, então p aparece exatamente uma vez na fatoração de n!. Em símbolos,
v_{p}(n!) = 1,
ou seja, p\mid B e p^2\not\mid B.

Passo 4

Tanto A quanto B são múltiplos de p, mas B tem fator p apenas uma vez. Se cancelarmos esse fator comum, obtemos
H_{n} \;=\;\frac{A}{B} =\;\frac{A/p}{B/p},
onde B/p = \frac{n!}{p}. Como n! é, para n\ge2, pelo menos 2\cdot1=2 e p<2n, temos
\frac{n!}{p} > 1.
Portanto depois de simplificar não chegamos a um denominador 1, isto é, H_{n} não pode ser inteiro.

Resposta

Para todo inteiro n\ge2, a soma
1+\tfrac12+\cdots+\tfrac1n
não é um número inteiro.

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