Exercício: A função f(x)=x^{3}-3 x+1 possui uma única raiz em (0,1). Calcule-a usando o método da secante com precisão \varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=10^{-3} e usando 4 casas decimais. Tome x_{0}=0 e x_{1}=0,5
Faça apenas o método numérico.

Passo 1

O enunciado pede a raiz de f(x)=x^3-3x+1 em (0,1) usando o método da secante. Temos
x_0=0, x_1=0,5
– precisões \varepsilon_1=\varepsilon_2=10^{-3}
– arredondar cada x_n a 4 casas decimais
Vamos iterar até satisfazer simultaneamente \lvert f(x_{n+1})\rvert<\varepsilon_1 e \lvert x_{n+1}-x_n\rvert<\varepsilon_2.

Passo 2

A fórmula da secante é
x_{n+1}=x_n - f(x_n)\,\frac{x_n - x_{n-1}}{\,f(x_n)-f(x_{n-1})\,}.
Em cada iteração calculamos f(x_n)=x_n^3-3x_n+1, depois x_{n+1} e então arredondamos a 4 decimais.

Passo 3

Calcular x_2: f(x_0)=f(0)=1, f(x_1)=f(0,5)=0,5^3-1,5+1=-0,375.
x_2 = 0{,}5 - (-0,375)\,\frac{0{,}5-0}{-0,375 - 1} =0{,}363636\ldots \quad\longrightarrow\quad x_2=0{,}3636.
Verificação rápida: f(0{,}3636)\approx -0,0427, \lvert x_2-x_1\rvert=0,1364.

Passo 4

Calcular x_3: f(x_2)\approx -0,042725, f(x_1)=-0,375.
x_3 = 0{,}3636 - (-0,042725)\,\frac{0{,}3636-0{,}5}{-0,042725 -(-0,375)} \approx0{,}346059\quad\longrightarrow\quad x_3=0{,}3461.
Verificação: f(0{,}3461)\approx0,00315, \lvert x_3-x_2\rvert=0,0175.

Passo 5

Calcular x_4: f(x_3)\approx0,003151, f(x_2)\approx -0,042725.
x_4 = 0{,}3461 - 0,003151\,\frac{0{,}3461-0{,}3636}{0,003151 -(-0,042725)} \approx0{,}3473005\quad\longrightarrow\quad x_4=0{,}3473.
Verificação: f(0{,}3473)\approx9{,}4\times10^{-7}<10^{-3}, mas \lvert x_4-x_3\rvert=0,0012>10^{-3}, ainda falta satisfazer \varepsilon_2.

Passo 6

Como \lvert x_4-x_3\rvert>10^{-3}, fazemos mais uma iteração:
x_5 = 0{,}3473 - (9,4\times10^{-7})\, \frac{0{,}3473-0{,}3461}{9,4\times10^{-7}-0,003151} \approx0{,}3473009\quad\longrightarrow\quad x_5=0{,}3473.
Agora \lvert x_5-x_4\rvert\approx3{,}6\times10^{-7}<10^{-3} e \lvert f(x_5)\rvert<10^{-3}.

Resposta

A raiz aproximada é x\approx0{,}3473.

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