Ache os pontos máximos e mínimos locais e pontos de sela das seguintes funções
f(x, y)=-3(x^2+y^2)+2 x y

Passo 1

Beleza! O enunciado pede pra gente achar os pontos máximos, mínimos locais e pontos de sela da função
f(x,y) = -3l(x^2+y^2r) + 2xy
Isso tá dentro de Cálculo Multivariável, mais precisamente a parte de derivadas parciais e teste da matriz Hessiana. Para resolver, a gente vai precisar de:
  1. derivadas parciais de ;
  2. igualar essas derivadas a zero pra achar pontos críticos;
  3. montar a Hessiana (matriz das segundas derivadas) e usar o teste de classificação (determinante e sinal de ).

Passo 2

Primeiro, achamos as derivadas parciais:
partial fpartial x = partialpartial xl(-3x^2 -3y^2 +2xyr) = -6x ;+; 2y,
partial fpartial y = partialpartial yl(-3x^2 -3y^2 +2xyr) = -6y ;+; 2x
Ponto crítico é onde as duas derivadas são zero ao mesmo tempo:
-6x + 2y = 0 e -6y + 2x = 0
Da primeira, .
Da segunda, .
Substituindo em , então . Aí .
Logo, o único ponto crítico é .

Passo 3

Agora a Hessiana, que é a matriz das segundas derivadas:
fxx = partialpartial x(-6x+2y) = -6, fyy = partialpartial y(-6y+2x) = -6,
fxy = partialpartial y(-6x+2y) = 2 (e fyx=2)
Então a Hessiana é
[
H = H = fxx & fxy [6pt] fyx & fyy = -6 & 2 [3pt] 2 & -6

D = (-6)cdot(-6) - 2^2 = 36 - 4 = 32 > 0, .
]
O teste de classificação diz:
  • Calcular fxx = -6 < 0 .
  • Se e : mínimo local.
  • Se e : máximo local.
  • Se : ponto de sela.
Aqui
e
Como e , a gente tem um máximo local em .

Resposta

Máximo local em ; não há mínimos locais nem pontos de sela.

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