Ache os pontos máximos e mínimos locais e pontos de sela das seguintes funções
Passo 1
Beleza! O enunciado pede pra gente achar os pontos máximos, mínimos locais e pontos de sela da função
Isso tá dentro de Cálculo Multivariável, mais precisamente a parte de derivadas parciais e teste da matriz Hessiana. Para resolver, a gente vai precisar de:
- derivadas parciais de
; - igualar essas derivadas a zero pra achar pontos críticos;
- montar a Hessiana (matriz das segundas derivadas) e usar o teste de classificação (determinante e sinal de
).
Passo 2
Primeiro, achamos as derivadas parciais:
Ponto crítico é onde as duas derivadas são zero ao mesmo tempo:
Da primeira,
→
.
Da segunda, →
.
Substituindo em
dá
, então
→
. Aí
.
Logo, o único ponto crítico é .
Da segunda,
Substituindo
Logo, o único ponto crítico é
Passo 3
Agora a Hessiana, que é a matriz das segundas derivadas:
Então a Hessiana é
[
H =
]
O teste de classificação diz:
- Calcular
. - Se
e : mínimo local. - Se
e : máximo local. - Se
: ponto de sela.
Aqui
e
Como
e
, a gente tem um máximo local em
.
Resposta
Máximo local em
; não há mínimos locais nem pontos de sela.