As afirmações são verdadeiras ou falsas? Justifique.
(a) O sistema quadrado A x=0 sempre tem uma solução.
(b) De1 para todo i então podemos aplicar o método de Gauss-Jacob
© Se o sistema satisfaz o critério de Sassenfield, satisfaz também o critério de linha.
(d) Podemos obter o determinante pelo processo de eliminação de Gauss.
(e) Se De, requer pivoteamento (troca de linha) na eliminação de Gauss.
(f) Se podemos resolver com método de Gauss-Seidel, também podemos resolver com Gauss-Jacob.

Passo 1

Estamos analisando seis afirmações sobre sistemas lineares e métodos numéricos: método de eliminação de Gauss, critérios de convergência de Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel (critério de Sassenfeld, dominância diagonal), e cálculo do determinante.

Passo 2

A afirmação (a) diz que o sistema quadrado A x=0 sempre tem uma solução. Qualquer sistema homogêneo sempre admite a solução trivial x=0, então há pelo menos uma solução. Logo, a afirmação é verdadeira.

Passo 3

Na afirmação (b) aparece o parâmetro De. Para o método de Gauss–Jacobi convergir precisamos de maxiDe. Se cada De1, esse critério falha, então não podemos aplicar o método de Jacobi. A afirmação é falsa.

Passo 4

A afirmação © compara o critério de Sassenfeld com o critério de linha (dominância diagonal estrita por linha, que exige lvert aiirvert>sumjneq ilvert aijrvert). O critério de Sassenfeld garante convergência do Gauss–Seidel mesmo sem dominância diagonal estrita. Portanto, satisfazer Sassenfeld não implica satisfazer o critério de linha. A afirmação é falsa.

Passo 5

Na afirmação (d) perguntam se podemos obter o determinante pelo processo de eliminação de Gauss. Ao triangularizar a matriz e aplicar trocas de linha, o determinante de A fica dado por det(A)=(-1)^sprodi uii,onde s é o número de trocas de linha e uii são os pivôs. Logo, sim, podemos obter o determinante via eliminação. A afirmação é verdadeira.

Passo 6

A afirmação (e) diz que se De é preciso fazer pivoteamento (troca de linha) na eliminação de Gauss. Aqui De significa aii=0, ou seja, o pivô é zero, então de fato precisamos trocar de linha para prosseguir. A afirmação é verdadeira.

Passo 7

A afirmação (f) questiona se a convergência do método de Gauss–Seidel implica convergência do método de Gauss–Jacobi. O critério de Sassenfeld pode ser satisfeito mesmo quando maxiDe=1, fazendo Gauss–Seidel convergir enquanto Jacobi não. Logo, nem sempre se Gauss–Seidel converge, Jacobi também converge. A afirmação é falsa.

Resposta

(a) Verdadeira; (b) Falsa; © Falsa; (d) Verdadeira; (e) Verdadeira; (f) Falsa.

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