As afirmações são verdadeiras ou falsas? Justifique.
(a) O sistema quadrado
sempre tem uma solução.
(b)
para todo
então podemos aplicar o método de Gauss-Jacob
© Se o sistema satisfaz o critério de Sassenfield, satisfaz também o critério de linha.
(d) Podemos obter o determinante pelo processo de eliminação de Gauss.
(e) Se
, requer pivoteamento (troca de linha) na eliminação de Gauss.
(f) Se podemos resolver com método de Gauss-Seidel, também podemos resolver com Gauss-Jacob.
(a) O sistema quadrado
(b)
© Se o sistema satisfaz o critério de Sassenfield, satisfaz também o critério de linha.
(d) Podemos obter o determinante pelo processo de eliminação de Gauss.
(e) Se
(f) Se podemos resolver com método de Gauss-Seidel, também podemos resolver com Gauss-Jacob.
Passo 1
Estamos analisando seis afirmações sobre sistemas lineares e métodos numéricos: método de eliminação de Gauss, critérios de convergência de Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel (critério de Sassenfeld, dominância diagonal), e cálculo do determinante.
Passo 2
A afirmação (a) diz que o sistema quadrado
sempre tem uma solução. Qualquer sistema homogêneo sempre admite a solução trivial
, então há pelo menos uma solução. Logo, a afirmação é verdadeira.
Passo 3
Na afirmação (b) aparece o parâmetro
. Para o método de Gauss–Jacobi convergir precisamos de
. Se cada
, esse critério falha, então não podemos aplicar o método de Jacobi. A afirmação é falsa.
Passo 4
A afirmação © compara o critério de Sassenfeld com o critério de linha (dominância diagonal estrita por linha, que exige
). O critério de Sassenfeld garante convergência do Gauss–Seidel mesmo sem dominância diagonal estrita. Portanto, satisfazer Sassenfeld não implica satisfazer o critério de linha. A afirmação é falsa.
Passo 5
Na afirmação (d) perguntam se podemos obter o determinante pelo processo de eliminação de Gauss. Ao triangularizar a matriz e aplicar trocas de linha, o determinante de
fica dado por
onde
é o número de trocas de linha e
são os pivôs. Logo, sim, podemos obter o determinante via eliminação. A afirmação é verdadeira.
Passo 6
A afirmação (e) diz que se
é preciso fazer pivoteamento (troca de linha) na eliminação de Gauss. Aqui
significa
, ou seja, o pivô é zero, então de fato precisamos trocar de linha para prosseguir. A afirmação é verdadeira.
Passo 7
A afirmação (f) questiona se a convergência do método de Gauss–Seidel implica convergência do método de Gauss–Jacobi. O critério de Sassenfeld pode ser satisfeito mesmo quando
, fazendo Gauss–Seidel convergir enquanto Jacobi não. Logo, nem sempre se Gauss–Seidel converge, Jacobi também converge. A afirmação é falsa.
Resposta
(a) Verdadeira; (b) Falsa; © Falsa; (d) Verdadeira; (e) Verdadeira; (f) Falsa.