Seja
c|c|c|c|c|c $x$ & 0 & 0.1 & 0.3 & 0.5 & 1 hline$y$ & 1 & 0.5 & 1 & 2 & 4 0 0.1 0.3 0.5 1
y(0.2) 1 0.5 1 2 4
. Obtenha uma aproximação de usando um polinômio interpolador de grau 2 , com o método Newton

Passo 1

Temos uma tabela de pontos (x,y): (0,1), (0.1,0.5), (0.3,1), (0.5,2), (1,4). O objetivo é aproximar y(0.2) usando um polinômio interpolador de grau 2 via método de Newton. Para isso vamos precisar escolher três pontos próximos de x=0.2 e calcular diferenças divididas.

Passo 2

Escolhemos os nós x0=0, x1=0.1 e x2=0.3, com f(x0)=1, f(x1)=0.5 e f(x2)=1. Calculamos as diferenças divididas de primeira ordem:
f[x0,x1]=f(x1)-f(x0)x1-x0=0.5-10.1-0=-5
f[x1,x2]=f(x2)-f(x1)x2-x1=1-0.50.3-0.1=2.5
E de segunda ordem:
f[x0,x1,x2]=f[x1,x2]-f[x0,x1]x2-x0=2.5-(-5)0.3-0=25

Passo 3

O polinômio de Newton de grau 2 é dado por
P2(x)=f(x0)+f[x0,x1],(x-x0)+f[x0,x1,x2],(x-x0),(x-x1)
Substituindo os valores:
P2(x)=1-5x+25x(x-0.1)

Passo 4

Avaliando em x=0.2:
P2(0.2)=1-5(0.2)+25times0.2times(0.2-0.1)=1-1+25times0.02=0.5
Portanto a aproximação buscada é y(0.2)approx0.5.

Resposta

y(0.2) ≈ 0.5

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