Seja
c|c|c|c|c|c $x$ & 0 & 0.1 & 0.3 & 0.5 & 1 hline$y$ & 1 & 0.5 & 1 & 2 & 4 0 0.1 0.3 0.5 1
y(0.2) 1 0.5 1 2 4
. Obtenha uma aproximação de usando um polinômio interpolador de grau 2 , com o método Lagrange

Passo 1

O enunciado pede para aproximar y(0.2) dado um conjunto de pontos (x,y) usando um polinômio interpolador de grau 2 pelo método de Lagrange. O conteúdo é interpolação polinomial e vamos precisar montar as bases de Lagrange e avaliá-las em x=0.2.

Passo 2

Escolhemos os três pontos mais próximos de x=0.2 na tabela, que são (0,1), (0.1,0.5) e (0.3,1). Esses pontos vão garantir um polinômio de grau 2 com boa aproximação nessa região.

Passo 3

Pelo método de Lagrange, o polinômio interpolador é
P(x)=y0L0(x)+y1L1(x)+y2L2(x)
com
L0(x)=(x-x1)(x-x2)(x0-x1)(x0-x2), L1(x)=(x-x0)(x-x2)(x1-x0)(x1-x2), L2(x)=(x-x0)(x-x1)(x2-x0)(x2-x1)
posicionando x_0=0, y_0=1; x_1=0.1, y_1=0.5; x_2=0.3, y_2=1.

Passo 4

Calculamos cada base em x=0.2:
L0(0.2)=(0.2-0.1)(0.2-0.3)(0-0.1)(0-0.3)=0.1cdot(-0.1)(-0.1)(-0.3)=-tfrac13,
L1(0.2)=(0.2-0)(0.2-0.3)(0.1-0)(0.1-0.3)=0.2cdot(-0.1)0.1cdot(-0.2)=1,
L2(0.2)=(0.2-0)(0.2-0.1)(0.3-0)(0.3-0.1)=0.2cdot0.10.3cdot0.2=tfrac13

Passo 5

Agora montamos P(0.2):
P(0.2)=1cdot L0(0.2)+0.5cdot L1(0.2)+1cdot L2(0.2)
Substituindo os valores:
P(0.2)=-tfrac13+0.5+tfrac13=0.5

Passo 6

Portanto, a aproximação de y(0.2) pelo polinômio de grau 2 de Lagrange usando os três pontos mais próximos é 0.5.

Resposta

0.5

Exercícios relacionados