Obtenha a inversa da matriz cccc2 & 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 1 1 & -1 & 0 & 1 0 & 0 & 2 & -2.

Passo 1

A questão pede para encontrar a inversa da matriz M. O conteúdo é inversão de matrizes (básico de álgebra linear) e a gente vai usar a ideia de resolver sistemas M xj= ej para montar M^-1.

Passo 2

Para montar M^-1, a gente resolve, para cada j=1,2,3,4, o sistema M xj= ej, onde ej é o vetor canônico com 1 na posição j e zero nas outras.
Para e1=(1,0,0,0)^ T resolvemos
2x1 + x2 = 1, 2x2 + x4 = 0, x1 - x2 + x4 = 0, 2x3 - 2x4 = 0
Da última equação vem x3 = x4. Da segunda, x2 = -tfracx42. Da terceira, x1 = x2 - x4. Substituindo tudo na primeira obtém-se x4 = -tfrac27. Logo
x1 = l(x1,x2,x3,x4r) = l(tfrac37,tfrac17,-tfrac27,-tfrac27r)

Passo 3

Para e2=(0,1,0,0)^ T resolvemos
2x1 + x2 = 0, 2x2 + x4 = 1, x1 - x2 + x4 = 0, 2x3 - 2x4 = 0
Usando o mesmo raciocínio ( x3=x4, x2=-2x1, etc.) chegamos a
x2 = l(-tfrac17,tfrac27,tfrac37,tfrac37r)

Passo 4

Para e3=(0,0,1,0)^ T o sistema é
2x1 + x2 = 0, 2x2 + x4 = 0, x1 - x2 + x4 = 1, 2x3 - 2x4 = 0
Novamente obtemos x3=x4, x2=-2x1 e, resolvendo, x1=tfrac17. Daí
x3 = l(tfrac17,-tfrac27,tfrac47,tfrac47r)

Passo 5

Para e4=(0,0,0,1)^ T o sistema é
2x1 + x2 = 0, 2x2 + x4 = 0, x1 - x2 + x4 = 0, 2x3 - 2x4 = 1
Dessas equações vem x1=x2=x4=0 e x3=tfrac12. Assim
x4 = l(0,0,tfrac12,0r)

Passo 6

Agora juntamos as colunas x1, x2, x3, x4 para formar M^-1.

Resposta

M^-1= 3/7 & -1/7 & 1/7 & 0 1/7 & 2/7 & -2/7 & 0 -2/7 & 3/7 & 4/7 & 1/2 -2/7 & 3/7 & 4/7 & 0

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